El número de elementos no conjugados de un subgrupo

Question

Existe una proposición sobre el número de elementos que no están en ningún conjugado de un subgrupo cuando el grupo es finito. Dice así:

Si $G$ es un grupo finito y $H$ es un subgrupo propio, entonces el número de elementos que no están en ningún conjugado de $H$ es al menos $|H|$ .

(Véase, por ejemplo, Teoría de grupos finitos de Isaac Página 7.

Sin embargo, me pregunto si la afirmación sigue siendo válida cuando $G$ es un grupo infinito. Supongo que no es tan difícil demostrar la afirmación para el caso infinito, pero no he encontrado la manera. Aunque está claro que la afirmación se cumple cuando $G$ tiene un elemento con orden infinito, no he podido encontrar la forma si ya consigo $G$ tiene un subgrupo finito que contiene $H$ y la existencia de un subgrupo de este tipo es algo que no puedo resolver ya que el problema de Burnside acotado muestra que existe un grupo infinito finitamente generado con cada elemento que tiene un orden acotado.

De hecho, si hay alguna estimación sobre este número de elementos no conjugados de un subgrupo, ¡será de gran ayuda!

Espero una respuesta, ¡gracias de antemano!

Answer 1

En efecto, para un grupo infinito, es posible que cada está contenido en algún conjugado de un subgrupo propio que contiene sólo dos elementos. Es decir, es posible que un grupo infinito esté formado por sólo dos clases de conjugación: la identidad y todo lo demás.

La construcción de dicho grupo no es elemental. En la respuesta de Arturo Magidin a Grupo infinito con sólo dos clases de conjugación .

Answer 2

He aquí un ejemplo explícito:

dejar $G$ sea el grupo de autohomologaciones crecientes de $\mathbf{R}$ con soporte acotado (es decir, identidad fuera de un subconjunto compacto), y $H$ el subgrupo de aquellos auto-homeofismos crecientes con soporte en $[-1,1]$ .

De hecho, si $g\in G$ existe $u\in G$ tal que $u(\mathrm{Supp}(g))\subset [-1,1]$ y por lo tanto $ugu^{-1}\in H$ .

Además, si nos limitamos a los elementos de $G$ (y en $H$ ) que son afines a trozos, para los que las pendientes son potencias integrales de $2$ y los puntos de ruptura son números diádicos, obtenemos un ejemplo contable para $G$ .