Encuentra la forma y base normal de Jordan

Question

Vamos $$A=M(\varphi)^{st}_{st}={\begin{bmatrix}0&1&1\\-4&-4&-2\\0&0&-2\end{bmatrix}}$$ and $ \varphi: \mathbb R^{3} \rightarrow \mathbb R^{3}$. Find the Jordan normal form $J_{A}$ for the matrix $$ and a basis $X$ for the endomorphism $\varphi$ such that $J_{Un}=M(\varphi)^{X}_{X}$.

Hice esta tarea, pero por desgracia mi base no es la correcta y no sé donde estoy cometiendo un error.

Yo:

El nombramiento de $ J_ {A} $ es claro para mí, así que sólo voy a escribir el resultado: $$J_{A}={\begin{bmatrix}-2&1&0\\0&-2&0\\0&0&-2\end{bmatrix}}$$, A continuación, estoy tratando de encontrar la base de:

$$(A+2I)^{2}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}$$

$$\alpha_{2} \in \ker(\varphi+2id)^{2}- \ker(\varphi +2id)$$

$$\ker(\varphi+2id)^{2}=\mathbb R^{3}$$

$$\ker(\varphi+2id)=lin\left\{(1,-2,0),(0,-1,1)\right\}$$

A partir de las conclusiones anteriores, creo que puedo tener:

$$\alpha_{2}=(0,1,0)$$

$$\alpha_{1}=(\varphi+2id)(\alpha_{2})=(1,-2,0)$$

Como $\alpha_{3}$ I elegir una linealmente independiente de vectores y tengo por ejemplo:

$$\alpha_{3}=(0,0,1)$$

Así que mi base es:

$$X=\left\{(1,-2,0),(0,1,0),(0,0,1)\right\}$$ Sé que puede ser diferente. Es por eso que he comprobado que mi respuesta:
$$J_{A}=M(\varphi)_{X}^{X}=M(id)^{X}_{st}M(\varphi)^{st}_{st}M(id)^{st}_{X}$$ From my basis I have: $$M(id)^{st}_{X}={\begin{bmatrix}1&0&0\\-2&0&1\\0&1&0\end{bmatrix}}$$Then I made a multiplication: $$M(id)^{X}_{st}M(\varphi)^{st}_{st}M(id)^{st}_{X}$$ and I get: $${\begin{bmatrix}-2&1&1\\0&-2&0\\0&0&-2\end{bmatrix}}$$Of course this is not equal $J_{A}$ so I know that I have a mistake.

I would like to add that it is very strange for me that when I was curiosity I changed the vector $\alpha_{1}$ and $\alpha_{2}$ then I get $J_{A}$. Sin embargo por mi cálculo no lo puedo hacer.

Me pueden ayudar y decir donde estoy haciendo algo mal? Sospecho que voy a realizar algún error en la determinación de $ \alpha_{2} $ , pero todavía no se dan cuenta de lo que.

Answer 1

Parece que he logrado obtener los datos de $A$ y su Jordan en la forma $J$como \begin{align*} A &= \left[\begin{array}{rrr} 0 & 1 & 1 \\ -4 & -4 & -2 \\ 0 & 0 & -2 \end{array}\right] & J &= \left[\begin{array}{rr|r} -2 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ \hline 0 & 0 & -2 \end{array}\right] \end{align*} Tenga en cuenta que nuestra tabla de autovalores es $$ \begin{array}{c|c|c} \lambda & \operatorname{am}_A(\lambda) & \operatorname{gm}_A(\lambda) \\ \hline -2 & 3 & 2 \end{array} $$ Aquí, $\operatorname{am}_A(-2)$ es la multiplicidad algebraica de $-2$ como un autovalor de a$A$ (el número de veces que $-2$ aparece en la diagonal de $J$) y $\operatorname{gm}_A(-2)$ es la multiplicidad geométrica (el número de bloques de Jordan en $J$ correspondiente a $-2$).

Vamos a encontrar la matriz de cambio de base utilizando este algoritmo descrito por Stefan Friedl.

En primer lugar, calculamos los números $$ d_k = \operatorname{nulidad}((A+2\cdot I)^k)-\operatorname{nulidad}((A+2\cdot I)^{k-1}) $$ para $1\leq k\leq\operatorname{gm}_A(-2)=2$. La computación de estos números da \begin{align*} d_1 &= 2 & d_2 &= 1 \end{align*} Podemos utilizar estos números para la construcción de un diagrama de $$ \begin{array}{cc} \Box & \Box \\ \Box \end{array} $$ De acuerdo a nuestro algoritmo, se inicio en la parte inferior de este diagrama y rellenar las casillas de la fila $k$ con vectores linealmente independientes que pertenecen a $\operatorname{Null}((A+2\,I)^k)$ pero no $\operatorname{Null}((A+2\,I)^{k-1})$. Tan pronto como una caja se llena con un vector de $\vec{v}$, llenamos el cuadro de arriba con $(A+2\,I)\vec{v}$.

Señalando que \begin{align*} A+2\,I &= \left[\begin{array}{rrr} 2 & 1 & 1 \\ -4 & -2 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right] & (A+2\,I)^2 &= \left[\begin{array}{rrr} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right] \end{align*} vemos que nuestro diagrama puede tomar la forma $$ \begin{array}{cc} \fbox{%#%#%} & \fbox{%#%#%}\\ \fbox{%#%#%} \end{array} $$ Esto define nuestra matriz de cambio de base $\left\langle2,\,-4,\,0\right\rangle$como $$ P=\left[\begin{array}{rrr} 2 & 1 & 0 \\ -4 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{array}\right] $$ Podemos comprobar nuestro trabajo mediante la comprobación de que $\left\langle0,\,1,\,-1\right\rangle$. De hecho, hemos $$ \desbordado{Un}{\left[\begin{array}{rrr} 0 & 1 & 1 \\ -4 & -4 & -2 \\ 0 & 0 & -2 \end{array}\right]} = \desbordado{P}{\left[\begin{array}{rrr} 2 & 1 & 0 \\ -4 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{array}\right]} \desbordado{J}{\left[\begin{array}{rr|r} -2 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ \hline 0 & 0 & -2 \end{array}\right]} \desbordado{P^{-1}}{\left[\begin{array}{rrr} 0 & -\frac{1}{4} & -\frac{1}{4} \\ 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & -1 \end{array}\right]} $$