Esta no es la respuesta completa; sólo estoy publicando para mostrar lo que he tratado de hacer hasta ahora. Me gustaría saber si hay un patrón que puede seguir o si hay al menos una manera más fácil de hacerlo.
He aquí lo que tengo hasta ahora:
Me doy cuenta de que cuando usted toma dos tarjetas, que inexorablemente punto a una y sólo una carta de la baraja para completar el Conjunto. Por ejemplo, si tiene Dos Forrado de color Púrpura Diamantes y Tres Sólido Púrpura Garabatos, la tercera tarjeta debe ser Uno Abierto Púrpura Oval. Así que cuando me tome dos cartas de la baraja y las ponen sobre la mesa, sólo a uno de los restantes 79 tarjetas de crear un Conjunto. Esto debe ser verdadero con una selección de tres cartas. Por lo que la probabilidad de un Conjunto existente en 3 tarjetas seleccionadas al azar es $\frac{1}{79}$ o ~$1.266$%.
Ahora a por la cuarta. Suponiendo que los tres anteriores tarjetas de no hacer un juego (lo cual es cierto $\frac{78}{79}$ del tiempo, recuerda), entonces debe ser cierto que cada combinación única de dos tarjetas de puntos para una tercera carta, la cual está todavía en la cubierta. Me voy a referir a los naipes (1), (2), (3), etc, por razones de brevedad. Así que lo que estoy diciendo es esto: Si (1) (2) (3) no es un Conjunto, la combinación de (1) (2) puntos a uno y sólo un tercio de la tarjeta que está todavía en la cubierta (vamos a llamarlo (a)). Asimismo, la combinación de (2) (3) (vamos a llamar a la tercera tarjeta (b)) y de (1) (3) (la tercera puede ser (c)). Por lo tanto, hay tres cartas (a), (b)y (c) todavía en la cubierta (que ahora tiene 78 cartas), que si se coloca como la cuarta carta en la mesa va a crear un Conjunto. Sin embargo, el resto de las 75 cartas no crear un Conjunto. Así, por cuatro cartas: $\frac{1}{79}$ del tiempo, los tres primeros han sido un Conjunto; y $\frac{78}{79}$ del tiempo, hay un $\frac{3}{78}$ de probabilidad de que la cuarta carta de completar una serie. Así que el total de probabilidad es: $\frac{1}{79}+\frac{78}{79}\cdotp\frac{3}{78}$, $\frac{4}{79}$ o ~$5.063$%.
Para el quinto, suponiendo que los cuatro anteriores no contienen el Conjunto (lo cual es cierto $\frac{75}{79}$ del tiempo) estuve tentado a simplemente mirar a los restantes 77 tarjetas, imagino que en 6 de ellos se ajuste con los cuatro en la mesa (ya que hay 6 posibles combinaciones de dos cartas en un grupo de cuatro), y pico en el número de $\frac{6}{77}$. Por lo que sería $\frac{1}{79}+\frac{78}{79}\cdotp\frac{3}{78}+\frac{78}{79}\cdotp\frac{75}{78}\cdotp\frac{6}{77}$. Pero ese no es el caso. He pensado en ello, entonces se dio cuenta de que, a veces, cuatro cartas puede consistir de dos grupos de dos cartas, cada grupo de lo que señala la misma tarjeta de tercero para completar el Conjunto. Me había topado en la posibilidad de intersección de Conjuntos. Hay un nombre para cuatro cartas que sería intersección de Conjuntos dada la correcta quinta tarjeta: se llama MetaSet. Es útil que ha sido bautizado, ya que el concepto parece ser un destacado uno en mis cálculos posteriores.
He aquí un ejemplo de un MetaSet sólo en caso de que no estaba clara: Un Sólido de color Púrpura Garabato, Uno Forrado Garabato Verde, Dos Abiertos Rojo Diamantes, Tres Óvalos Abiertos Rojo. El primer par de tarjetas de punto a Una línea ondulada de color Rojo, y el segundo par de puntos a Una línea ondulada de color Rojo. Así que para algunas combinaciones de cuatro cartas que no contienen un Conjunto (es decir, MetaSets), sólo cinco de los restantes 77 tarjetas de crear un Conjunto cuando se coloca en la mesa con ellos.
El uso de nuestra tarjeta de terminología establecido en el apartado anterior, cuando las cuatro cartas (1) (2) (3) (4) son no una MetaSet y no incluyen un Conjunto, hay tarjetas 6 (a) (b) (c) (d) (e) (f) cada una de las cuales cuando se coloca junto a los cuatro creará un Conjunto:
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(1) (2) -> (a)
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(1) (3) -> (b)
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(1) (4) -> (c)
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(2) (3) -> (d)
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(2) (4) -> (e)
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(3) (4) -> (f)
Pero cuando hay un MetaSet:
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(1) (2) -> (a)
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(1) (3) -> (b)
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(1) (4) -> (c)
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(2) (3) -> (d)
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(2) (4) -> (e)
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(3) (4) -> (a)
Desde (a) toma el lugar de dos cartas, sólo hay 5 cartas en el resto de los 77 que crear un Conjunto cuando uno se coloca con los cuatro en la mesa.
Ahora para calcular la probabilidad de cuatro tarjetas MetaSet. Vamos a tomar tres cartas. $\frac{1}{79}$ del tiempo, que será un Conjunto. No estamos interesados en que ahora, así que vamos a convertir a los otros $\frac{78}{79}$ del tiempo. Ahora estamos trabajando con tres cartas que no forman un Conjunto. Vamos a empezar con (1) (2), que los puntos a (a), todavía en la cubierta. A continuación, tomamos (a) (3), que los puntos a (A), en la cubierta. Así que ahora, si (A) se coloca sobre la mesa, tendríamos un MetaSet, desde (1) (2) puntos a (a), y (3) (A) los puntos a (una). Hay otras dos maneras de reorganizar las cartas para producir MetaSets:
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(1) (3) -> (b); (b) (2) -> (B)
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(2) (3) -> (c); (c) (1) -> (C)
Así que hemos establecido que hay tres cartas (a) (b) (c) en el reminaing 78 que va a crear un Conjunto con los tres en la mesa, y otros tres tarjetas (A) (B) (C) que crean un MetaSet. Así que la probabilidad de cuatro tarjetas que contienen un MetaSet en este punto es $\frac{3}{78}$.
Para tratar de envolver a este monstruo:
- Con tres cartas, $\frac{1}{79}$ del tiempo, habrá un Conjunto.
- La adición de una tarjeta a la otra $\frac{78}{79}$ de las posibilidades de crear un Conjunto $\frac{3}{78}$ del tiempo, y un MetaSet $\frac{3}{78}$ del tiempo, con los otros $\frac{72}{78}$ de las posibilidades que contiene no Establece ni tampoco MetaSets.
- La adición de un quinto de la tarjeta a un no-MetaSet ($\frac{78}{79}\cdotp\frac{72}{78}$ del tiempo) va a crear un Conjunto de $\frac{6}{77}$ del tiempo, mientras que la adición de un quinto de la tarjeta a un MetaSet ($\frac{78}{79}\cdotp\frac{3}{78}$ del tiempo) va a crear un Conjunto de sólo $\frac{5}{77}$ del tiempo.
Tomando todo esto en consideración, el número final es: $\frac{1}{79}+\frac{78}{79}\cdotp\frac{3}{78}+\frac{78}{79}\cdotp(\frac{72}{78}\cdotp\frac{6}{77}+\frac{3}{78}\cdotp\frac{5}{77})$
$\frac{1}{79}+\frac{3}{79}+\frac{78\cdotp72\cdotp6+78\cdotp3\cdotp5}{79\cdotp78\cdotp77}$
$\frac{4}{79}+\frac{72\cdotp6+3\cdotp5}{79\cdotp77}$
$\frac{755}{6083}$
~$12.412$%
Un programa de ordenador, la fuerza bruta de la 25621596 combinaciones únicas de 5 sets de cartas, se acercó con la misma respuesta, y fue capaz de dar las fracciones para el 6 y 7 de tarjetas de: $\frac{27395}{115577}$ (~$23.703$%) y $\frac{31651}{82555}$ (~$38.339$%), pero la fuerza bruta tarda mucho más allá de eso. Yo sé que por 20 tarjetas, hay todavía una posibilidad de tener ningún Conjunto (véase este artículo para un ejemplo), pero por 21, hay un 100% de probabilidad de tener un Conjunto.
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Mi objetivo final es hacer una lista de todas las fracciones y los porcentajes de las posibilidades de tener un Conjunto de 3 cartas, 4 cartas, 5 cartas, todo el camino hasta el 20, en el pasado, que sé que es el 100%.
