¿De cuántas maneras se pueden distribuir 200 bolas idénticas en 40 tarros distintos?

Question

¿De cuántas maneras puede $200$ bolas idénticas se distribuyan en $40$ tarros distintos para que el número de Bolas en el primer $20$ tarros es mayor que el número de bolas en el último $20$ ¿Jarras?

Se me ocurrieron dos soluciones diferentes al problema, pero las respuestas son diferentes. La primera solución utiliza la simetría: Hay $\binom{239}{40}$ posibles formas de colocar $200$ bolas en $40$ tarros. A continuación, restamos todas las posibilidades en las que el número de bolas en el primer $20$ tarros es igual al número de bolas en el último $20$ tarros, que es igual a $\binom{119}{20}^2$ . A continuación, explotamos la simetría (el número de posibilidades de que haya más bolas en la primera $20$ tarros es igual al número de posibilidades de que haya más bolas en los últimos veinte tarros). La respuesta final es

$$\frac{\binom{239}{40} - \binom{119}{20}^2}{2}$$

La segunda solución utiliza una suma. Resulta

$$\sum_{k=101}^{200} \binom{k+19}{20}\binom{219-k}{20}$$

Answer 1

Una expresión para el número encontrado por medio de estrellas y barras es: $$\sum_{k=0}^{99}\binom{k+19}{19}\binom{200-k+19}{19}$$ Podemos reescribir esto como: $$\sum_{i+j=238\wedge i\leq118}\binom{i}{19}\binom{j}{19}$$ en virtud de la convención que $\binom{n}{m}=0$ si $m\notin\{0,1,\dots,n\}$ .

Además tenemos: $$\binom{239}{39}=\sum_{i+j=238}\binom{i}{19}\binom{j}{19}=$$$$\sum_{i+j=238\wedge i\leq118}\binom{i}{19}\binom{j}{19}+\sum_{i+j=238\wedge j\leq118}\binom{i}{19}\binom{j}{19}+\binom{119}{19}^2$$ donde la primera igualdad puede ser reconocida como la igualdad del palo de hockey.

Esto con: $$\sum_{i+j=238\wedge i\leq118}\binom{i}{19}\binom{j}{19}=\sum_{i+j=238\wedge j\leq118}\binom{i}{19}\binom{j}{19}$$ para que: $$\sum_{i+j=238\wedge i\leq118}\binom{i}{19}\binom{j}{19}=\frac{1}{2}\left[\binom{239}{39}-\binom{119}{19}^2\right]$$

Answer 2

Has cometido un error al aplicar "estrellas y barras". Debe reemplazar $\binom{239}{40}$ con $\binom{239}{39}$ y $\binom{119}{20}$ con $\binom{119}{19}$ y así sucesivamente.

Con las expresiones correctas se obtiene: $$ \sum_{k=101}^{200} \binom{k+19}{19}\binom{219-k}{19}=\frac{\binom{239}{39} - \binom{119}{19}^2}{2}. $$

No aparece ninguna contradicción.