Cómo aproximarse $49^{4}81^{5}$ ?

Question

Estoy haciendo este ejercicio para el examen GMAT

¿Cuál de las siguientes opciones se acerca más a $49^{4}81^{5}$ ?

A. $8^{18}$

B. $8^{19}$

C. $8^{20}$

D. $8^{21}$

E. $8^{22}$

Mi intento:

$49^{4}81^{5} = (7^2)^4(9^2)^5 = 7^{8}9^{10} = (8-1)^{8}(8+1)^{10} \approx 8^{8}8^{10} = 8^{18}$

Pero no estoy seguro de cómo $(8-1)^{8}(8+1)^{10}$ está más cerca de $8^{18}$ que a $8^{19}$ .

Por favor, arrojadme algo de luz. Gracias por su ayuda.

Answer 1

Vamos a dar unos pasos más exactos: $$ (8-1)^{8}(8+1)^{10} =(8-1)^8(8+1)^8(8+1)^2\\ =(8^2-1)^8\cdot9^2<8^{16}\cdot 9^2 $$ Y $9^2$ está mucho más cerca de $8^2$ que a $8^3$ .

Answer 2

Utilice las aproximaciones $\,49 \approx 50 = 10^2\cdot 2^{-1}\,$ y $\,81 \approx 80 = 10\cdot 2^3.\,$ Esto nos da la aproximación $\, x := 49^4\cdot 81^5 \approx 10^8\cdot 2^{-4}\cdot 10^5\cdot 2^{15} = 10^{13}\cdot 2^{11}\,$ y como $\,10^3 \approx 2^{10}\,$ obtenemos además la aproximación $\, x \approx 10\cdot 2^{40}\cdot 2^{11} = 10\cdot 2^{51} = 10\cdot 8^{17} \approx 8^{18}.\,$