Espacios métricos no demasiado compactos

Question

Considere las siguientes dos separables métrica espacios: espacio de Cantor $2^\omega$ y espacio de Baire $\omega^\omega$. Estos espacios dan lugar a dos clases de espacios métricos, es decir, los "grandes" en la que Baire espacio incrusta como un subconjunto cerrado y el "pequeño" que son "fácilmente cubierto" por Cantor de espacio, es decir, que son la imagen continua de $2^\omega\times\omega$. Por ejemplo, $\mathbb{R}$ es pequeño en este sentido, ya que el $[-n,n]$ es un espacio métrico compacto para cada una de las $n\in\mathbb{N}$ y cada espacio métrico compacto es la imagen continua de un espacio de Cantor. De hecho, este último hecho indica que, "pequeño" es justo "$\sigma$-pacto".

Cada "natural" separable espacio métrico en el que puedo pensar es ya sea grande o pequeña, en este sentido, y esto plantea la siguiente pregunta:

Supongamos $M$ es un espacio métrico separable que no contienen un conjunto cerrado homeomórficos a Baire espacio y es homeomórficos a un subconjunto de Borel espacio de Baire (yo también voy a aceptar más complicado ejemplos como están "razonablemente natural," por ejemplo, existen en $L(\mathbb{R})$ asumiendo grandes cardenales). Debe $M$ ser $\sigma$-compacto?

Sospecho que la respuesta es "no", pero no he sido capaz de desatar un contraejemplo.

Answer 1

Creo que la respuesta es sí para subconjuntos de Borel de polaco espacios. No estoy lo suficientemente seguro como para decir nada acerca de $L(\mathbb R).$

Lema 1. Segunda contables espacio de $M$ se puede dividir en un abrir $\sigma$-espacio compacto $A$ y un subespacio cerrado $B$ tal que todos los no-vacío relativamente abierto subconjunto de $B$ es no-$\sigma$-compacto.

Prueba: Definir $A$ a ser la unión de todos los $\sigma$-compacto abierto pone en $M.$ Desde $M$ está fuertemente Lindelöf, $A$ es $\sigma$-compacto. Set $B=M\setminus A.$ Considere la posibilidad de una selección de $\sigma$-compacto subconjunto $U\subseteq B.$ Esta es la restricción de algunos $U'\subseteq M.$ Desde $A\cup U'=A\cup U$ es abierto y $\sigma$-compacto, $U'\subseteq A.$ Lo $U=\emptyset.$ $\Box$

De hecho, sólo voy a utilizar una propiedad más débil de $B$ como un espacio métrico: cerrado bolas no son compactos. (Si un cerrado balón $B'(x,r)$ es compacto, entonces $B(x,r)$ es $\sigma$-compacto.)

Lema 2. Si $M$ es un no-vacío subespacio de un espacio métrico completo $P,$ e $M$ tiene la propiedad de Baire, y todo cerrado bolas de $M$ son no-compacto, entonces existe un cerrado la incorporación de la $\omega^\omega$ en $M.$

Prueba. Escribir $M=U\Delta (\bigcup C_i)$ donde $U$ es abierto y cada una de las $C_i$ es denso en ninguna parte.

Desde $M$ no es secuencialmente compacto, no es totalmente acotado o se tiene una secuencia de Cauchy que converge a un punto en $P\setminus M.$ En cualquiera de los casos podemos encontrar una secuencia de desunido "no convergentes" cerrado bolas $B_n\subseteq U$ - con esto quiero decir que no hay secuencia con $x_n\in B_n$ tiene límite de puntos en $M.$ podemos recoger las bolas $B_n$ , de modo que no se intersecan $C_1$ y tales que tienen radio de menos de $1$.

A continuación, para cada una de las $n_1$ podemos elegir una secuencia de desunido no convergentes cerrado bolas $B_{n_1,n_2}\subseteq B_{n_1}$ que no se intersecan $C_2$ y con un radio de menos de $1/2.$ Continúe de esta manera, la definición de cerrado bolas $B_{n_1,\dots,n_{k+1}}\subseteq B_{n_1,\dots,n_k}$ evitando $C_1\cup\cdots\cup C_{k+1}$ y con un radio de menos de $1/k.$

Definir una incrustación $f:\omega^\omega\to M$ tomando $(n_1,n_2,\cdots)$ a el único punto en $\bigcap_{k}B_{n_1,\dots,n_k}.$ Este mapa es inyectiva porque para cada una de las $k,$ las bolas $B_{n_1,\dots,n_k}$ son disjuntas. Para cada secuencia $x_1,x_2,\dots\in\omega^\omega,$ la secuencia de $f(x_n)$ converge si y sólo si $x_n$ converge en $\omega^\omega.$ Lo $f$ es un cerrado de incrustación. $\Box$

Subconjuntos de Borel $M$ de un espacio polaco, ciertamente, tiene la propiedad de Baire. Así que estos dos lemas implica que $M$ debe ser $\sigma$-compacto o contener un homeomórficos copia de $\omega^\omega.$