Mapa de reducción en los puntos de torsión de una curva elíptica y su valoración.

Question

Deje $K$ ser un campo de característica cero, completo con respecto a una discreta valoración $v$. Asumir que los residuos del campo de $k$ es de característica positiva $p$.

Ahora tome una curva elíptica $E$ definido a lo largo del $K$ que tiene una buena reducción en $v$ de la altura 1 (que es la Naturaleza invariante no cero). No es la secuencia exacta (como resumen de grupo) $$ 0 \longrightarrow \ker (\pi) \longrightarrow E[p](K) \overset{\pi}{\longrightarrow} \tilde E[p](k) \longrightarrow 0$$

donde $\pi$ es la reducción de mapa (que se describe en homogeneus coordinar) $[x:y:z] \mapsto [\tilde x: \tilde y: \tilde z]$ ($\tilde t$ es la imagen de $t \in \mathcal{O}_K$ k).

Mi pregunta es: ¿cómo describen $\ker(\pi)$ en términos de la valoración $v$? Más específico, la valoración que tienen las coordenadas de los puntos de $\ker(\pi)$?

Answer 1

El % de puntos $[x:y:z] \in \ker(\pi)$son los mapeados en $[0:1:0]$ por lo que deben satisfacer $v(x),v(z)>0$ y $v(y)=0$.

Answer 2

Respondiendo a la pregunta tal como se explica en un comentario.

Recuerde que el proceso para pasar entre homogénea y afines coordenadas: un par de $(x, y)$ corresponde a $[x: y: 1]$. Recuerde también que el proceso para la reducción de las coordenadas homogéneas: se escala por una potencia de la uniformizer (que voy a llamar a $\pi$, que es ligeramente en conflicto con su notación) hasta que todas las coordenadas son números enteros y al menos uno es una unidad. Vamos a llamar a un triple de coordenadas "adecuado" si se cumple este criterio. La reducción de mapa es el mapa que reduce un oportuno triple de mod $\pi$ (es decir, mod el máximo ideal).

Ahora, si $x$ $y$ son enteros, es claro que $[x: y: 1]$ no se reduce a la de origen (que es $[0: 1: 0]$) debido a la triple $(x, y, 1)$ ya es "apropiado". Así que si queremos un punto de $(x, y)$ a reducir al origen, será necesario que al menos uno de $x$ $y$ ser no-enteros. Desde $$ y^2 = x^3 + ax + b $$ y desde $a$ $b$ son enteros (buena reducción) se deduce que $x$ es un número entero si y sólo si $y$ es un número entero. Por lo que es necesario que tanto $x$ $y$ ser no-enteros.

¿Por qué es suficiente? Si $x$ $y$ no enteros, la ecuación anterior da $2v(y) = 3v(x)$ (no cabe la cancelación de otro modo -- ver los comentarios para obtener más detalles).

Deje $m = -v(y)$. A continuación, $[x: y: 1]$ puede ser escrita "adecuadamente" como $[\pi^mx: \pi^my:\pi^m]$. Ahora $\pi^m y$ es una unidad, sino $\pi^m$ no lo es (porque $y$ no es un número entero) y $\pi^m x$ no (porque $m = -v(y) = -\frac{3}{2}v(x) > -v(x)$). Para esto se reduce a $[0:1:0]$, lo que demuestra que Silverman condición también es suficiente.