¿Es posible intercambiar vectores en una base para obtener una nueva base?

Question

Deje que$V$ sea un espacio vectorial en$\mathbb{R}^3$. Supongamos que tenemos una base,$B = (b_1, b_2, b_3)$, que abarca$V$. Ahora elija algunos$v \in V$ tal que$v \ne 0$. ¿Siempre es posible intercambiar$v$ con una columna en$B$ para obtener una nueva base para$V$?

Mi idea inicial es que no siempre es posible, ya que si$v$ es una combinación lineal de 2 vectores en$B$, entonces, si intercambiáramos$w$ en$B$,$B$ ya no abarcaría$V$. ¿Me estoy perdiendo un matiz aquí?

Answer 1

Si$(v_1,\cdots, v_n)$ es una base para cualquier espacio vectorial$V$, y$w\in V$ es un vector arbitrario, entonces el intercambio de$w$ por$v_i$ resultará en una base iff$w$ no está en el intervalo de$\{v_j\mid j\ne i\}$. La prueba es un buen ejercicio.

Answer 2

Primero, asumo que estamos hablando de un$n$ - espacio vectorial tridimensional general$V$ con$n$ cualquier entero positivo finito.

Si$\{\vec v_1, \ldots, \vec v_n\}$ es una base para$V$ y$\vec w \in V$ no es cero, entonces$\vec w = c_1\vec v_1 + \cdots + c_n\vec v_n$ donde al menos un$c_i$ no sea cero para algunos$1 \le i \le n$. Así obtenemos$\frac{1}{c_i}\vec w = \frac{c_1}{c_i}\vec v_1 + \cdots + \frac{c_i}{c_i}\vec v_i + \cdots + \frac{c_n}{c_i}\vec v_n$ y nos reorganizamos obtenemos$\vec v_i = \frac{1}{c_i}\vec w - \frac{c_1}{c_i}\vec v_1 - \cdots - \frac{c_n}{c_i}\vec v_n$.

Entonces, si eliminamos$v_i$ de la base y agregamos$w$, cualquier$v \in V$ que anteriormente requería$v_i$ como parte de su representación ahora puede usar el$RHS$ de El último paso en su lugar.

Answer 3

Creo que la respuesta a mi pregunta es que sí, podemos intercambiar $w$ con algún vector en la base para obtener una nueva base.

$Proof$:

Deje $V$ ser un espacio vectorial en $\mathbb{R}^n$ $B = (b_1, \ldots, b_n)$ ser una base para $V$. Deje $w \in V$. Como se señaló en Ittay la respuesta, el intercambio de $w$ $b_i$ resultados en una base de iff $w \notin$ span$\{v_j~|~j\ne i\}$.

Por lo tanto, a no tener una base después de intercambio implica que $w$ está contenida en el lapso de todos los ${n \choose n-1} = n$ subconjuntos de a $B$'s vectores de la base. Sin embargo, el $i^{th}$ subconjunto falta $b_i$, lo que implica la $i^{th}$ coordenadas de $w$ debe $0$ (de lo contrario $w \notin $ span$\{v_j~|~i\ne j\}$). De ello se desprende que $w = 0_n$ y, por lo tanto si $w \ne 0_n$, entonces podemos intercambiar $w$ con uno de los vectores en $B$ y obtener una nueva base para $V$.