Resolver

Question

Traté de resolver esto mediante la definición de $cos(z)=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$ e igualando a $\frac{3}{4}+\frac{i}{4}$ y convertirlo en una compleja ecuación cuadrática a través de una sustitución de $t=e^{iz}$ y la búsqueda de las raíces a través de la compleja fórmula cuadrática, pero no parece funcionar. Yo prefiero las soluciones a través de métodos de primaria.

Aquí va mi intento:

Por definición tenemos $\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}=\frac{3}{4}+\frac{i}{4} \implies e^{iz}+e^{-iz}=\frac{3}{2}+\frac{i}{2}$. Deje $t=e^{iz}$, entonces tenemos $t+\frac{1}{t}=\frac{3}{2}+\frac{i}{2}$ y si multiplicamos ambos lados por $t$ tenemos $t^2+1=(\frac{3}{2}+\frac{i}{2})t$ y, por tanto, $t^2+(\frac{3}{2}+\frac{i}{2})t+1=0$ Por la fórmula cuadrática para los números complejos tenemos, $a=1, b=\frac{3}{2}+\frac{i}{2}, c=1 \implies z=\frac{-(\frac{3}{2}+\frac{i}{2}) \pm \sqrt{(\frac{3}{2}+\frac{i}{2})^2-4(1)(1)}}{2(1)}$. Simplyifing tenemos $z=\frac{-\frac{3}{2}-(\frac{1}{2})i \pm \sqrt{-2+(\frac{3}{2})i}}{2}$ queremos expresar $-2+(\frac{3}{3})i$ en polar formulario para que nos tienen $|-2+(\frac{3}{2})i|=\frac{5}{2}$. Ahora igualando las partes real e imaginaria tenemos $\frac{5}{2}\cos(\theta)=-2 \implies \cos(\theta)=-\frac{4}{5}$$\frac{5}{2}\sin(\theta)=\frac{3}{2} \implies \sin(\theta)=\frac{3}{5}$. A partir de esto, hemos $\tan(\theta)=-\frac{3}{4} \implies \theta=\arctan(-\frac{3}{4}) \approx -.6435$ rad. Así que tenemos $w=-2+(\frac{3}{2})i=\frac{5}{4}(\cos(\theta)+i\sin(\theta))=\frac{5}{4}e^{i\theta}$. Por la Proposición 1.3.12 tenemos $\sqrt{w}=\sqrt{\frac{5}{4}}e^{\frac{i\theta}{2}}=\frac{\sqrt{5}}{2}e^{\frac{i\theta}{2}}$. Al igual para $-\frac{3}{2}-(\frac{1}{2})=\frac{\sqrt{10}}{2}e^{i\varphi}$ Donde $\varphi=\arctan(\frac{1}{3})$. Así que, finalmente, tenemos $z=\frac{-(\frac{3}{2}+\frac{i}{2}) \pm \sqrt{(\frac{3}{2}+\frac{i}{2})^2-4(1)(1)}}{2(1)}=\frac{\sqrt{10}e^{i\varphi} \pm \sqrt{5}e^{\frac{i\theta}{2}}}{4}$ como soluciones a $\cos(z)=\frac{3}{4}+\frac{i}{4}$.

Answer 1

Estoy de acuerdo con su enfoque en su mayor parte, pero creo que se equivocó al calcular$b$ en la fórmula cuadrática: $$e^{iz} + e^{-iz} -\frac{3}{2} - \frac{i}{2} = 0$$

Using $t = e ^ {iz}$: $$t + \frac{1}{t} -\frac{3}{2} - \frac{i}{2} = 0$ $ Multiplicando por$t$:$$ t^2\color{red}{-}\left(\frac{3}{2} + \frac{i}{2}\right)t + 1 = 0 Aquí es donde su solución comienza a ir mal. ¡Esos signos menos acechan al matemático inocente! :P

Por lo tanto: $$\begin{align} x &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\\ &= \frac{\left(\frac{3}{2} + \frac{i}{2}\right) \pm \sqrt{\left(\frac{3}{2} + \frac{i}{2}\right)^2 - 4}}{2}\\ &= \frac{\left(\frac{3}{2} + \frac{i}{2}\right) \pm \sqrt{\left(\frac{9}{4} - \frac{1}{4}+\frac{3}{2}i\right) - 4}}{2}\\ &= \frac{\left(\frac{3}{2} + \frac{i}{2}\right) \pm \frac{1}{2}\sqrt{-8+6i}}{2}\\ &= \frac{3+i \pm (3i+1)}{4}\\ &= \cdots \end {align}$$

Pasando de la línea tres a la línea cuatro: $$\begin{align} \frac{\left(\frac{3}{2} + \frac{i}{2}\right) \pm \sqrt{\left(\frac{9}{4} - \frac{1}{4}+\frac{3}{2}i\right) - 4}}{2} &= \frac{\left(\frac{3}{2} + \frac{i}{2}\right) \pm \sqrt{\left(\frac{8}{4}+\frac{3}{2}i\right) - 4}}{2}\\ &= \frac{\left(\frac{3}{2} + \frac{i}{2}\right) \pm \sqrt{\left(2+\frac{3}{2}i\right) - 4}}{2}\\ &= \frac{\left(\frac{3}{2} + \frac{i}{2}\right) \pm \sqrt{-2+\frac{3}{2}i}}{2}\\ &= \frac{\left(\frac{3}{2} + \frac{i}{2}\right) \pm \sqrt{-\frac{8}{4}+\frac{6}{4}i}}{2}\\ &= \frac{\left(\frac{3}{2} + \frac{i}{2}\right) \pm \frac{1}{2}\sqrt{-8+6i}}{2}\\ \end {align}$$

Answer 2

Un posible "método elemental" podría comenzar:

PS

lo que simplifica a

PS

Ahora deja

PS

lo que da $$\cos(x+iy) = \cos(x)\cos(iy)-\sin(x)\sin(iy),$$ $\cos(x)\cosh(y)-i\sin(x)\sinh(y).$$$\cos(x)\cosh(y)-i\sin(x)\sinh(y) \equiv \frac{3}{4}+\frac{i}{4},

Es posible que puedas resolver para$$\cos(x)\cosh(y)=3/4$y$ and $.

Answer 3

Dos soluciones del sistema anterior: (Pi 4, - ln(2)/2) y (-Pi/4, ln(2)/2), entre otros.