secuencialmente continuos en una zona no contable.

Question

¿Puedes darme un ejemplo de una función que sea secuencialmente continua pero no continua? (Sé que en los espacios contables en primer lugar esto es equivalente, pero ¿qué pasa en los espacios sin esta condición?)

Gracias :)

Answer 1

Tomemos un espacio topológico $X$ de su elección, tal que existe un subconjunto $A$ cuyo cierre es estrictamente mayor que su cierre secuencial. Tomemos cualquier $x$ que se encuentra en el cierre de $A$ pero no en el cierre secuencial de $A$ .

Ahora, consideramos el espacio topológico $A \cup \{x\}$ y definimos $$f(y) = \begin{cases} 1 & y = x,\\ 0 & \text{else}.\end{cases}$$ Esta función es secuencialmente continua, pero no continua (nótese que sólo la secuencia trivial $x_n \equiv x$ converge hacia $x$ ).

Answer 2

Dejemos que $X$ sea $\omega_1+1$ con la topología del orden. Definir $f:X\to\Bbb R$ por $f(\alpha)=0$ si $\alpha<\omega_1$ y $f(\omega_1)=1$ . Entonces $f$ es secuencialmente continua pero no continua. La razón por la que $f$ es secuencialmente continua es que si $\langle \alpha_n:n\in\omega\rangle$ es una secuencia convergente en $X$ con límite $\alpha$ Entonces, o bien

1. $\alpha<\omega_1$ y hay un $m\in\omega$ tal que $\alpha_n<\omega_1$ para todos $n\ge m$ , en cuyo caso $f(\alpha_n)=0=f(\alpha)$ para todos $n\ge m$ o

2. $\alpha=\omega_1$ en cuyo caso hay un $m\in\omega$ tal que $\alpha_n=\omega_1$ para todos $n\ge m$ , en cuyo caso $f(\alpha_n)=1=f(\alpha)$ para todos $n\ge m$ .

Y $f$ es discontinuo en $\omega_1$ porque $f^{-1}\big[(0,2)\big]=\{\omega_1\}$ pero $\omega_1$ no es un punto aislado de $X$ .

Answer 3

Toma $\omega_1+1$ como un espacio ordinal, entonces $\omega_1$ no tiene una base vecinal contable.

Consideremos ahora la función que mapea $\omega_1$ a $0$ y cualquier otro ordinal $\alpha\mapsto 2^\alpha$ (exponenciación ordinal).

Por la definición de exponenciación ordinal, si $\alpha=\lim_n\alpha_n$ entonces $2^\alpha=\lim 2^{\alpha_n}$ por lo que ciertamente es continua secuencialmente. Pero es evidente que esta función no es continua en $\omega_1$ (fácilmente reconocible mediante secuencias largas).

Answer 4

Otro ejemplo se da en el análisis funcional. Sea $X$ y $Y$ sean espacios de Banach tales que $X$ es de dimensión infinita, y dejemos que $T \in B(X,Y)$ sea compacta e inyectiva. Consideremos $T$ como una función $(X,\text{weak}) \to (Y,\text{norm})$ entonces:

• $T$ es secuencialmente continua porque los operadores compactos convierten las secuencias débilmente convergentes en secuencias fuertemente convergentes .

• Para ver que $T$ no es continua, utilizamos que $T$ es inyectiva. Para cualquier $x\in X$ tenemos $\|Tx\| > 0$ Por lo tanto $\|T\lambda x\| > 1$ para $\lambda$ suficientemente grande. Se deduce que la imagen inversa de la bola unitaria abierta (de $Y$ ) no contiene ningún subespacio lineal distinto de cero (de $X$ ). Por otro lado, toda vecindad débilmente abierta de $0$ contiene un subespacio de dimensión infinita (de codimensión finita), por lo que vemos que $T$ no es continua.