La fórmula de Proving Stone para obtener constructivamente la medida espectral para$A=A^\star$

Question

Deje $A$ ser limitada o ilimitada selfadjoint operador lineal en un complejo espacio de Hilbert $H$ con representación espectral $A=\int_{\sigma}\lambda \, dE(\lambda)$ dada por el Teorema Espectral para Selfadjoint Operadores. Piedra de la Fórmula da una manera constructiva obtener el espectro de medida $E[a,b]$ de un intervalo finito como un fuerte (vector) límite: $$ \frac{1}{2}\{E[a,b]+E(a,b)\}x=\lim_{\varepsilon\downarrow 0}\frac{1}{2\pi i}\int_a^b \{R(u+i\varepsilon)-R(u-i\varepsilon)\}x\,du,\;\;\; x \in H, $$ donde $R$ es el resolvent operador $R(\lambda)=(A-\lambda I)^{-1}$.

Pregunta: ¿Cuál es la manera más fácil de probar que la Piedra de la Fórmula es válida?

Aplicación: Este puede ser visto como una generalización de los residuos de la resolvent función. Si $A$ ha aislado del espectro, entonces, como una integral puede evaluarse utilizando los residuos de la resolvent.

Answer 1

Creo que un método fácil es entregado por el cálculo funcional.

Considera el lado derecho de tu ecuación como$$ \lim_{ \varepsilon \downarrow 0} \frac{1}{2\pi i}f_{\varepsilon, a, b}(A)x, $ $ donde$$f_{\varepsilon, a, b}(t) = \int_{a}^b \left(\frac{1}{t-(u+i\varepsilon)} - \frac{1}{t-(u-i\varepsilon)}\right) \mbox{d}u.$ $

Podemos mostrar que (haciendo cálculos) $$ \ lim_ {\ varepsilon \ downarrow 0} \ frac {1} {2 \ pi i} \ int_ {a} ^ b \ left (\ frac {1} {t- ( u + i \ varepsilon)} - \ frac {1} {t- (ui \ varepsilon)} \ right) \ mbox {d} u = \begin{cases} 1 & \mbox{if } t \in (a,b) \\ \frac{1}{2} &\mbox{if } t = a \\ \frac{1}{2} &\mbox{if } t = b \\ 0 &\mbox{if }t\notin [a, b] \end {cases} $$

Si ahora aplica el cálculo funcional en el lado derecho de la expersión anterior, obtendrá exactamente$$ \frac{1}{2}\left(E[a,b] + E(a,b)\right)x.$ $