como se calcula

Question

$\int\frac{\sqrt {2x+1}}{\sqrt {x}} dx$

He intentado sustituir$t = \sqrt x$ y$x = t^2$ con$dx = 2t\ dt$ pero me quedé atascado nuevamente en$2\int \sqrt{2t^2+1}$.

Answer 1

Al sustituir$$t=\sqrt{\frac{2x+1}{x}}$ $, obtenemos$$x=\frac{1}{t^2-2}$$ and $$dx=-\frac{2t}{(t^2-2)^2}dt$ $

Answer 2

Mientras que otros ya han respondido la pregunta, aquí hay una opinión sobre el uso de la misma sustitución que el OP estaba intentando.

Sustituya$t = \sqrt{x} \implies x = t^2$ y$\mathrm dx = 2\sqrt x\mathrm dt$.

PS

Sustituya$$\implies\int\dfrac{\sqrt{2x + 1}}{\sqrt x}\,\mathrm dx = 2\int\sqrt{2t^2 + 1}\,\mathrm dt$ y$t = \dfrac{\tan(s)}{\sqrt{2}}\implies s = \arctan{\sqrt2t}$. También, $\mathrm dt = \dfrac{\sec^2s}{\sqrt2}\mathrm ds$. $1 + \tan^2s = \sec^2s$ $ Esta integral ya está resuelta por The Integrator .

Answer 3

$I =\displaystyle\int\frac{\sqrt {2x+1}}{\sqrt {x}} dx$

dejar $2x = \tan^2(z)\implies 2 dx = 2\tan(z)\sec^2(z)\,dz$

$I = \displaystyle\int\dfrac{\sqrt2\cdot\sec(z)}{\tan(z)}\tan(z)\sec^2(z)\,dz$

$I = \displaystyle\sqrt2\int\sec^3(z)\,dz$

$I =\sqrt2\displaystyle \bigg[\frac12\sec(z)\tan(z) +\frac12 \ln|\sec(z)+\tan(z)|\bigg]+C$

$I = \displaystyle\frac1{\sqrt2}\sqrt{2x}\cdot \sqrt{1+2x}+\frac1{\sqrt2}\ln|\sqrt{1+2x}+\sqrt{2x}|+C$

NOTA:

integral de$\sec^3(z)$;

$J = \displaystyle\int\sec^3(z)\,dz$

$J = \displaystyle \sec(z)\tan(z)-\int\sec(z)\tan^22(z)\,dz$

$J = \displaystyle \sec(z)\tan(z)-\int\sec(z)(\sec^2(z)-1)\,dz$

$J = \displaystyle\sec(z)\tan(z)- \int\sec^3(z)\,dz+\int\sec(z)\,dz$

$2J =\sec(z)\tan(z)+\ln|\sec(z)+\tan(z)|+C_1$

$J = \displaystyle\frac12\sec(z)+\frac12\ln|\sec(z)+\tan(z)|+C$ $\qquad\qquad$ dónde $C = \dfrac{C_1}{2}$

Answer 4

Insinuación:

Una vez que llegue a$$2\int \sqrt{2t^2+1}\,dt = 2\sqrt{2}\int \sqrt{t^2+\frac12}\,dt$$ you can proceed with this general formula with $ a = \ frac {1} {\ sqrt {2}} $:

PS

Answer 5

Aquí hay otro método que utiliza una secuencia de simples sustituciones. Lo cierto es que podría ser combinados para reducir la cantidad de trabajo, pero tal vez es útil para ver cómo se puede proceder de un pequeño paso a la vez. $$I = \int\frac{\sqrt {2x+1}}{\sqrt {x}}\ dx$$ En primer lugar, simplificar la raíz: $$I = \int\sqrt{2+\frac1x}\ dx$$ Vamos a tratar de $u=\frac1x$, lo $x=\frac1u$$dx = -\frac1{u^2}\ du$: $$I = -\int\frac{\sqrt{2+u}}{u^2}\ du$$ Ahora tratemos de simplificar la raíz cuadrada más: vamos a $v=2+u$, lo $u=v-2$$du = dv$. Entonces tenemos: $$I = -\int\frac{\sqrt v}{(v-2)^2}\ dv$$ Para deshacerse de la raíz completamente ahora, utilizamos $v=w^2, dv=2w\ dw$: $$I = -2\int\frac{w^2}{(w^2-2)^2}\ dw$$ Ahora estamos efectivamente en el mismo estado en @DrSonnhardGraubner la respuesta. A partir de aquí, el uso parcial de las fracciones y de integrar.