¿Cómo se obtiene esta fórmula del producto infinito?

Question

Espectáculo:

$$\prod_{n=0}^{\infty}\left(1 + x^{2^n}\right) = \frac{1}{1-x}$$

He probado numerosas cosas, multiplicando por $x$ dividiendo, pero nada de eso funcionó. Además, me di cuenta de que:

$$\prod_{n=0}^{\infty} \left(1 + x^{2^n}\right) = \sum_{n=0}^{\infty} x^n$$

Pero no puedo probar la relación. Me sale:

$$(1 + x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8)...$$

Pero para un general $n$ es más difícil.

Answer 1

Desde entonces: $$\begin{eqnarray*} (1-x)(1+x)&=&(1-x^2),\\ (1-x^2)(1+x^2) &=& (1-x^4), \\ (1-x^4)(1+x^4) &=& (1-x^8),\\ \ldots\end{eqnarray*} $$ que tenemos: $$ (1-x)\prod_{k=0}^{N}\left(1+x^{2^k}\right) = 1-x^{2^{N+1}} \tag{1}$$ por lo que, asumiendo $|x|<1$ y dejar que $N\to +\infty$ que tenemos: $$ (1-x)\prod_{k=0}^{+\infty}\left(1+x^{2^k}\right) = 1\tag{2} $$ como se quería.

Obsérvese que una posible interpretación combinatoria de $(2)$ es: sólo hay una forma de escribir un número natural como suma de potencias distintas de dos .

Answer 2

Tenemos

$$\prod_{n = 0}^\infty (1 + x^{2^n}) = \lim_{m \to \infty} \prod_{n = 0}^m \frac{1 - x^{2^{n+1}}}{1 - x^{2^n}} = \lim_{m\to \infty} \frac{1 - x^{2^{m+1}}}{1 - x} = \frac{1}{1 - x}$$

para $|x| < 1$ .

Answer 3

Los productos parciales son $$1+x,$$ $$(1+x)+x^2(1+x)=1+x+x^2+x^3,$$ $$(1+x+x^2+x^3)+x^4(1+x+x^2+x^3)=1+x+x^2+x^3+x^4+x^4+x^5+x^6+x^7$$ $$\cdots$$ Cada vez el número de términos se duplica. ¿No te suena eso?

Answer 4

Ya casi habías terminado. Recordemos que, para $|x| < 1$ , $$\frac1{1+x} = \sum_{n = 0}^\infty(-1)^n x^n \qquad\mbox{(MacLaurin expansion).}$$

Por lo tanto, $$\frac1{1-x} = \sum_{n = 0}^\infty x^n\qquad\mbox{for }|x| < 1$$

y puedes concluir la prueba.

Answer 5

Y formalmente, es decir, "en forma", es cierto para todos $x$ (sólo que no es convergente para $|x| \geq 1$ ). La suma que has encontrado es la parte "más difícil": a partir de ahí, utiliza el Método de Gauss (apócrifo): deja que la suma $= S$ . Entonces, formalmente, $xS = -1 + S \implies S(1 - x) = 1 \implies S = 1/(1-x)$ . Entonces se puede demostrar la convergencia para $|x| < 1$ , $x$ complejo (incluido el real), por separado.