¿Es cierta esta inversión parcial de la propiedad de escisión para la medida exterior?

Question

De aquí en adelante asumamos $A \subsetneq B$ y que $B$ es medible.

Le site propiedad de escisión establece que si $A$ es medible y de medida finita, entonces $$m^*(B-A)=m^*(B)-m^*(A)\,\,\,\,(*)$$

Me interesa lo contrario (que planteo por contraposición).

Pregunta: Si $A$ no es medible, no $(*)$ fallan en todos los $B$ o sólo para algunos medibles $B$ ?

La propiedad de escisión se basa en el hecho de que $m^*(B)=m^*(B\cap A) + m^*(B-A)$ para cualquier configure $B$ cuando $A$ es medible. Sé que debe fallar para algunos $B$ o bien $A$ sería medible, pero me gustaría concluir que $(*)$ falla para todos $B$ cuando $A$ es un subconjunto no medible de $B$ .

¿Qué he probado? Bueno, no tengo ejemplos concretos de conjuntos no medibles, en el sentido de que no conozco la medida exterior de ningún conjunto no medible. Todo lo que sé es que existen y cómo hacerlos, pero como me baso en el axioma de elección para hacer tal conjunto, parece que no puedo hacer nada con él.

Answer 1

En lo que sigue, asumo que su medida exterior está inducida por una premedida dada sobre un semiring $H$ como en este post Desigualdad con medida exterior . Con la definición habitual de medida de Lebesgue, este es el caso (donde $H$ suele ser la familia de todas las "cajas").

Observe también que su identidad se mantiene trivialmente si $B$ es de medida infinita (¿por qué?).

Ahora veremos que su identidad falla para todos los medibles $B$ de medida finita. De ahí que su afirmación sea cierta en todos los casos interesantes.

Para la demostración nótese que la mensurabilidad de todos los elementos de $H$ junto con la definición de la medida exterior asociada implica que para cada $C$ hay un " sobre medible " $C^\ast$ es decir, un conjunto medible $C^\ast \supset C$ con $\mu^\ast (C^\ast)=\mu^\ast (C)$ (¿por qué exactamente?). (Escribiré $\mu$ en lugar de $m$ ).

Sea $C = (B\setminus A)^\ast$ y observar que podemos suponer $C\subset B$ . Por consideraciones elementales, vemos

$$ C^c \subset (B\cap A^c)^c = B^c \cup A $$

y por lo tanto

$$ B\setminus C \subset B \cap (B^c \cup A) = A \subset A^\ast. $$

Pero por tu identidad $(\ast)$ produce

$$ \mu^\ast (A^\ast)=\mu^\ast (A) =\mu^\ast (B)-\mu^\ast (B\setminus A) =\mu^\ast (B)-\mu^\ast (C) =\mu^\ast (B\setminus C)\leq \mu^\ast (A)=\mu^\ast (A^\ast). $$

Esto implica que $A^\ast \setminus (B\setminus C)$ es un conjunto nulo (por lo tanto medible), de modo que también $A \setminus (B\setminus C)$ es un conjunto nulo (como subconjunto del conjunto antes mencionado) y, por tanto, medible.

Por fin,

$$ A = (B\setminus C)\cup [A\setminus (B \setminus C)] $$

es medible, una contradicción. (Recordemos que $B \setminus C \subset A$ para que la última ecuación sea cierta).