¿Por qué las ecuaciones de movimiento en la mecánica clásica no deberían ser de primer orden?

Question

Todas las formulaciones de la mecánica clásica que soy consciente de terminar de describir el movimiento de las partículas en términos de segundo orden ecuaciones diferenciales en términos de los vectores de posición $\mathbf{r}_i(t)$. Por supuesto, usted siempre puede convertirlos en primer orden ecuaciones mediante la adición de algunas nuevas variables $\mathbf{u}_i(t) = \mathbf{\dot{r}}_i(t)$ que representa la velocidad, pero eso no cuenta porque el espacio de estado tamaño es mayor.

Sé que esto es obviamente una consecuencia de Newton de la 1ª y 2ª leyes. Pero me gustaría saber cuánto de esto es empírica, ¿cuánto de esto es una consecuencia de conveniente definiciones, y cuánto de esto es una consecuencia de las propiedades más fundamentales de la naturaleza.

He visto esta pregunta en las que las respuestas en su mayoría de la dirección (para mi satisfacción) la razón por la que el orden no es mayor que 2, pero no estoy muy satisfecho con las razones por las que las ecuaciones no podía ser de orden 1 en el principio. No considero esto un duplicado, estoy buscando específicamente por razones de primer orden las ecuaciones de movimiento no iba a funcionar, y esta es mi pregunta. He añadido mis propios pensamientos acerca de lo que creo que podría ser la respuesta a continuación.

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A mi modo de ver, esto hace que la posición y la velocidad para ser fundamentalmente diferentes de las de mayor tiempo de derivados, en el sentido de que uno libremente puede especificar una posición inicial y la velocidad, y, a continuación, todo el comportamiento de la partícula del movimiento se puede predecir. Pero hay una razón intuitiva por qué velocidad inicial sí no debe ser determinado por la posición inicial de la partícula, por ejemplo? Por supuesto, la primera ley de Newton establece que los objetos sobre los que no haya fuerzas que están actuando se mueven a velocidad constante en sistemas inerciales de referencia, pero no creo que este totalmente responde a la pregunta, como alguien puede concebir que hemos definido las fuerzas y sistemas inerciales de referencia de tal manera que esta propiedad tiene (por lo que entonces se preguntaría "¿por qué estas definiciones el derecho?").

Mi conjetura es que tal vez esto es una consecuencia de la invariancia de Lorentz de la Relatividad Especial (porque en esta configuración, el espacio y el tiempo están íntimamente relacionadas con la constante de la velocidad de la luz). Pero si ese fuera el caso, esto significaría que la pre-relativista de la mecánica clásica no habría buenas razones para suponer esto. La idea de Galileo y/o la invariancia de Lorentz ya introduce un lugar especial para la velocidad en la física, como un parámetro del grupo de simetrías del espacio-tiempo.

En última instancia, no es esta aparentemente arbitraria apariencia de que el número de $2$ (en lugar de $1$, por ejemplo) que yo a veces no pueden justificar, y no sé si hay mejores razones aparte de ser un dato empírico o práctico de definición.

Imaginemos el siguiente experimento: estás en el espacio vacío, y usted tiene un balón parado en frente de usted. Cuando usted empuja el balón, empieza a moverse. ¿Por qué es natural esperar que el balón para seguir avanzando, en lugar de detener inmediatamente? Supongamos que no había aprendido acerca de las leyes de Newton...

Answer 1

OP es la descripción de la mecánica Aristotélica (AM) $$ m\dot{q}^i~=~f^i(q,t).$$

1. La simetría objeciones son, por ejemplo, que ESTOY no tiene tiempo de reversión de la simetría.

2. Dinámica objeciones son, por ejemplo, que SOY es disipativo, tiene ya cerrado órbitas si la fuerza es conservador gradiente de campo $f_i(q)=-\frac{\partial V(q)}{\partial q^i}$, y ha no convencionales estacionaria principio de la acción.

Answer 2

Si usted empujar un balón en el espacio vacío, se observa que del posterior movimiento uniforme, independientemente de si son conscientes de Newton, las ecuaciones de movimiento o no.

Más claramente, cuando un niño patea una pelota, es la trayectoria dependerá de la velocidad de los pies, de forma independiente de la del chico de conocimiento de la escuela de física de plan de estudios.

Es sólo una evidencia empírica de que el movimiento depende tanto de la posición y la velocidad.

Que debe responder a su titular la pregunta. Ahora la pregunta de por qué se da el caso de que el movimiento no depende solamente de la posición, pero en la velocidad también es una cuestión diferente, que no puedo responder sin ser especulativa. Simplemente parece que sería demasiado aburrido tal vez?

Answer 3

Cuando usted empuja el balón, empieza a moverse. ¿Por qué es natural esperar que el balón para seguir avanzando, en lugar de detener inmediatamente?

Usted podría argumentar de forma intuitiva la conservación. Durante el tiempo cuando usted está empujando la pelota, estás ejerciendo una fuerza(empuje). Y que $\mbox{force}\times\mbox{distance_moved_while_pushing}$ es el $\mbox{work}\equiv\mbox{energy}$ le comunicó a la pelota cuando es empujado (es decir, $\mbox{work}=\mbox{force}\times\mbox{distance}$, como de costumbre).

De modo que el trabajo de la energía no puede simplemente "desaparecen" después de dejar de empujar. Es conservada como el $\frac12mv^2$ de la energía cinética de la pelota. Así que si la pelota dejó de moverse, de por sí, luego de que violaría la conservación. (Por supuesto, si usted no tiene ya intuitivamente creo conservación, estamos de vuelta donde empezamos:)

(Por cierto, volver a su no-realmente relevante de la relatividad de las observaciones, $\vec v$ sería medido en la $\mbox{cm}$ marco donde usted y el balón se estacionario antes de la inserción. Y luego, para ser completamente precisos, tendríamos que cuenta para la energía cinética, debido tanto a su "hacia atrás" y velocidad de la bola", "adelante" de la velocidad después de la inserción.)