Personajes de representaciones irreductibles.

Question

Supongamos que$G$ es un grupo finito de orden impar y$\chi$ es el carácter correspondiente a una representación bidimensional de$G$. ¿Debe$\chi(x)\neq 0$ por cada$x\in G$?

Answer 1

Si su pregunta es acerca de las complejas representaciones, entonces la respuesta es sí-

Tenga en cuenta que si $x\in G$ es tal que $\chi(x)=0$ $x$ incluso ha pedido. Para mostrar esto, vamos a $\rho:G\to GL_2(\mathbb C)$ ser la representación del mapa, y deje $x$ ha $\chi(x)=0$. Ya que estamos hablando de complejas representaciones de $\rho(x)$ debe tener dos autovalores distintos, a saber,$\lambda, -\lambda$. Además, desde el $\rho(x)$ tiene orden finito (como $x$ ha), es forzoso que $|\lambda|=1$ (desde algunos para algunos $n\in\mathbb N$, $\lambda^n=(-\lambda)^n=1$). Pero si $x$ tenían orden impar, entonces por alguna extraña $n$ tendríamos $$1=(-\lambda)^n=-(\lambda)^n=-1$$ lo cual es una contradicción.

Ahora considere el grupo $\rho(G)\subseteq GL_2(\mathbb C)$. Desde $\rho$ está en este grupo, tenemos que $$|\rho(G)|=\frac{|G|}{|\ker\rho|}$$ y, en particular, $|\rho(G)|$ busto ser impar. Por lo tanto, $2$ no divide al orden de $\rho(G)$, y, en consecuencia, $\rho(G)$ no contiene ningún elemento de orden. De modo que $\chi(x)\neq 0$ cualquier $x\in G$.

Si estamos hablando de las representaciones más arbitrario de los campos que puede ocurrir. Por ejemplo, tome $$G=\lbrace \left(\begin{matrix}1&t\\0&1\end{matrix}\right)\mid t\in \mathbb{F}_q\rbrace\subseteq GL_2(\mathbb{F}_q)$$ para $q=p^m$, $p>2$ un número primo. Deje $\rho:G\to GL_2(\mathbb{F}_2)$ ser el estándar de la representación - que es $$\rho(\left(\begin{matrix}1&t\\0&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}a+tb\\b\end{matrix}\right)$$

En este caso, $\chi(x)=0$ todos los $x\in G$.

Answer 2

Aquí es una forma diferente de ver esto por personajes complejos, que utiliza un poco más de teoría:

Dado que el grado de que el personaje no divide al orden del grupo, no puede ser irreductible, por lo que debe ser en realidad la suma de dos caracteres lineales. Llamar a estos $\chi_1$$\chi_2$. Si $(\chi_1+\chi_2)(x) = 0$$\chi_1(x) = -\chi_2(x)$. Pero es evidente que tanto $\chi_1(x)$ $\chi_2(x)$ tiene de extraño, ya que el grupo hace. Por otro lado, si algún número complejo $z$ tiene impar para, a continuación, $-z$ incluso ha pedido, lo que no es posible disponer de $(\chi_1+\chi_2)(x) = 0$.