No puedo entender por qué mi evaluación de$\displaystyle \int_{0}^{\infty} J_{n}(bx) e^{-ax} \ dx \ (a,b >0, \ n=0,1,2, \ldots)$ está desactivada por un factor de$ \displaystyle \frac{1}{b}$.
PS
Dejar $$ \begin{align} \int_{0}^{\infty} J_{n}(bx) e^{-ax} \ dx &= \displaystyle \frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{\infty} \int_{-\pi}^{\pi} e^{i(n \theta -bx \sin \theta)} e^{-ax} \ d \theta \ dx \\ &= \displaystyle \frac{1}{2 \pi} \int_{\pi}^{\pi} \int_{0}^{\infty} e^{i n \theta} e^{-(a+ib \sin \theta)x} \ dx \ d \theta \\ &= \displaystyle \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} \frac{e^{i n \theta}}{a + ib \sin \theta} d \theta \end{align}$.
Entonces
PS
El integrand tiene polos simples en$z = e^{i \theta}$.
Pero solo el polo en$$ \begin{align} \int_{0}^{\infty} J_{n}(bx) e^{-ax} \ dx &= \frac{1}{2 \pi} \int_{|z|=1} \frac{z^{n}}{a+\frac{b}{2} \left(z-\frac{1}{z} \right)} \frac{dz} {iz} \\ &= \frac{1}{i\pi} \int_{|z|=1} \frac{z^{n}}{bz^{2}+2az-b} \ dx . \end{align}$ está dentro del círculo unitario.
Por lo tanto,
PS
