¿Qué es

Question

Sé que$$g(x) = \arctan(x)+\arctan(y) = \arctan\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$ $

que sigue de la fórmula para$\tan(x+y)$. Pero mi pregunta es que mi libro lo define como específico de dominio, a lo que me refiero, tiene diferentes definiciones para diferentes dominios:

$$ g (x) = \begin{cases}\arctan\left(\dfrac{x+y}{1-xy}\right), &xy < 1 \\[1.5ex] \pi + \arctan\left(\dfrac{x+y}{1-xy}\right), &x>0,\; y>0,\; xy>1 \\[1.5ex] -\pi + \arctan\left(\dfrac{x+y}{1-xy}\right), &x<0,\; y<0,\; xy > 1\end {casos} $$

Además, cuando grafico la función$2\arctan(x)$, resulta que la definición del libro es correcta. No entiendo cómo surge esa definición tan peculiar. Gracias.

Answer 1

Arreglar, como de costumbre:

$$ - \ frac {\ pi} {2} <\ gamma = \ arctan (t) <\ frac {\ pi} {2} $$

ahora tenemos: $$ \ tan (\ gamma) = \ tan (\ alpha + \ beta) = \ frac {x + y} {1-xy} = t $$ y, si$xy>1$ tenemos los dos casos ($x$ y$y$ tienen el mismo signo): $$ x> 0, y> 0 \ rightarrow t <0 \ rightarrow \ gamma <0 \ rightarrow \ alpha + \ beta = \ gamma + \ pi $$ $$ x <0, y <0 \ rightarrow t> 0 \ rightarrow \ gamma> 0 \ rightarrow \ alpha + \ beta = \ gamma- \ pi $$

Answer 2

Puedo probar que si$|xy|<1$, eso

1)$$-\frac {\pi}{2}<\arctan(x)+\arctan(y)<\frac {\pi}{2}$ $

2)$$\arctan(x)+\arctan(y)=\arctan\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$ $