¿Cómo crea un matemático una nueva función zeta?

Question

Imagina que un matemático quiere crear esta función:

PS

¿Por dónde empezaría?

Más precisamente, ¿cómo sabría él los valores exactos de$$F(s)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n^2+1)^s}$ para$F(s)$? ¿Y cómo extendería este resultado para cada$s> 0$% natural? ¿Y para real$s$?

Answer 1

Actualización:

Si uno puede recordar la siguiente serie:

$$\sum_{n=0}^\infty\frac1{n^2+x}=\frac1{2x}+\frac\pi{2\sqrt x\tanh(\pi\sqrt x)}$$

A continuación, diferenciando ambos lados $k$ veces rendimientos

$$\sum_{n=0}^\infty\frac1{(n^2+x)^{k+1}}=\frac1{2x^{k+1}}+\frac{(-1)^k\pi}{2\times k!}\frac{d^k}{dx^k}\frac1{\sqrt x\tanh(\pi\sqrt x)}$$

y evaluación en $x=1$ da formas cerradas.

Actualización:

El uso general de la regla de Leibniz, tenemos

$$\frac{d^k}{dx^k}\frac{\coth(\pi\sqrt x)}{\sqrt x}=\sum_{p=0}^k\binom kp\frac{\Gamma(3/2+n-p)}{-2\sqrt\pi}(-1)^{n-p}x^{-1/2-n+p}(\coth(\pi\sqrt x))^{(p)}$$

Podemos manejar la regla de la cadena con el $n$th derivado de la $\coth$ usando Faà di Bruno fórmula,

$$\small(\coth(\pi\sqrt x))^{(p)}=\sum_{q=1}^n\coth^{(q)}(\pi\sqrt x)B_{p,q}\left(\pi\frac12x^{-1/2},-\pi\frac14x^{-1/2},\dots,\sqrt\pi\frac{\Gamma(3/2+q)}{-4}(-1)^qx^{-1/2-q}\right)$$

donde $B_{n,k}$ es la campana de polinomio. El $q$th derivado de la $\coth$ es dado al $q\ge1$:

$$\coth^{(q)}(x)=2^q(\coth(x)-1)\sum_{r=0}^q\frac{(-1)^rr!S_q^{(r)}}{2^r}(\coth(x)+1)^r$$

Poniendo todo esto junto,

$$\tiny F(k+1)=\frac12+\frac{(-1)^k\pi}{2(k!)}\left(\binom kp\frac{\Gamma(3/2+k)}{-2\sqrt\pi}(-1)^k(\coth(\pi)+\sum_{p=1}^k\sum_{q=1}^n\sum_{r=0}^q\binom kp\frac{\Gamma(3/2+k-p)}{-2\sqrt\pi}(-1)^{k+p+r}2^{q-r}(\coth(\pi)-1)(-1)^rr!S_q^{(r)}(\coth(\pi)+1)^r(\pi)B_{p,q}\left(\pi,-\pi\frac14,\dots,\sqrt\pi\frac{\Gamma(3/2+q)}{-4}(-1)^q\right)\right)$$

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Viejo:

Una theta de la función:

$$\frac12[\vartheta_3(0,r)+1]=\sum_{n=0}^\infty r^{n^2}$$

Plazo por el término de integración, a continuación, revela que

$$\frac1x\int_0^x\frac12[\vartheta_3(0,r)+1]\ dr=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{n^2}}{1+n^2}$$

Repita este proceso una y otra vez para obtener

$$\frac1{x_1}\int_0^{x_1}dx_2\frac1{x_2}\int_0^{x_2}dx_3\dots dx_k\frac1{x_k}\int_0^{x_k}dr\frac12[\vartheta_3(0,r)+1]=\sum_{n=0}^\infty\frac{x_1^{n^2}}{(1+n^2)^k}$$

Y, por supuesto, evaluar en $x_1=1$ para su función. No veo una forma cerrada de salir de esto, pero puede ser útil para discernir ciertas cosas acerca de su función.

He de hacer notar, sin embargo, que en el caso de $k=1$, la solución está dada en este post:

$$\sum_{n=0}^\infty\frac1{1+n^2}=\int_0^1\frac12[\vartheta_3(0,r)+1]\ dr=\frac\pi{2\tanh\pi}+\frac12$$

Answer 2

La aceptación, por el motivo de la discusión, que es posible crear una función (la opinión contraria es que uno descubre que los objetos matemáticos, en lugar de la creación de ellos), se ha creado la función simplemente por escribir que la leche de fórmula. Así, se han creado para la parte real de $s$ superior a la mitad, que es donde la serie converge. Sabiendo que "los valores exactos" (de nuevo, un término que puede discutir, pero me quedo con el significado de una expresión finita en términos de bien-conocido constantes, y dejarlo en eso), bueno, eso es en general, muy difícil. No se conoce un valor exacto para $\zeta(3)$, por ejemplo, y para su función sospecho que no se conoce un valor exacto para $F(2)$. Y en cuanto a la ampliación de su definición de la función para todas las complejas $s$ (fuera de un polo a $s=1/2$), que es lo que continuación analítica , así que ahora tenemos una frases clave de búsqueda.

Answer 3

No tiene un producto de Euler.

Al expandir$(1+n^{-2})^{-s} =\sum_{k=0}^\infty {-s \choose k} n^{-2k}$, obtienes$$F(s) =\sum_{n=0}^\infty (n^2+1)^{-s} = 1+2^{-s}+\sum_{k=0}^\infty {-s \choose k} (\zeta(2s+2k)-1)$$ so it is meromorphic on the whole complex plane, with poles at $ s = \ frac {1} {2} -k, k \ in \ mathbb {N} $

Al utilizar$\Gamma(s) a^{-s} =\int_0^\infty x^{s-1}e^{-ax}dx$ y$\theta(x) = \sum_{n=1}^\infty e^{-x n^2}$, tiene$$G(s) = (F(s)-1-2^{-s}) \Gamma(s) = \int_0^\infty x^{s-1}e^{-x} \theta(x)dx, \qquad \Gamma(s) \zeta(2s) = \int_0^\infty x^{s-1}\theta(x) dx $ $ donde$\Gamma(s) \zeta(2s)-\frac{\sqrt{\pi}}{2(s-1/2)}+\frac{1}{2s}$ está completo.

A partir de la ubicación de estos polos, podemos deducir que para% arbitrario grande $N$:

$\theta(x) = \frac{\sqrt{\pi}}{2}x^{-1/2}-\frac{1}{2}+o(x^N)$ como$x \to 0$ y por lo tanto$e^{-x}\theta(x) = \sum_{k\ge 0} \frac{x^k}{k!}(\frac{\sqrt{\pi}}{2}x^{-1/2}-\frac{1}{2})+o(x^N)$ como$x \to 0$

para que$$\lim_{s \to 1/2-k}(s+1/2-k)G(s)= \frac{\sqrt{\pi}}{2k!}, \qquad \lim_{s \to -k}(s-k)G(s)= \frac{-1/2}{(k+1)!}$ $

Answer 4

Tal vez mirar en la teoría de la serie de Dirichlet ? Su función es la serie correspondiente a la secuencia$n \mapsto [\exists x\in \mathbb{N}(n=x^2+1)],$ donde$[-]$ es el corchete de Iverson (google). Los primeros términos de la secuencia son:

PS