Tomar la integral de los irracionales

Question

Dejemos que $$f(x,y)= \begin{cases} 1,&\mbox{ if $ x $ is rational}\\2y,&\mbox{ if $ x $ is irrational.} \end{cases} $$

Demostrar que $$\int_0^1dx\int_0^1f(x,y)dy=1$$

Pero eso

$$\int_0^1dy\int_0^1f(x,y)dx$$

No existe.

Mi planteamiento : No he podido construir un buen planteamiento aquí para ser sincero, pero creo que f(x,y)=1 si x es racional no es continua por eso la segunda integral no existe. Pero tampoco he podido evaluar la primera integral, ¿alguna pista?

Answer 1

Consideremos la primera integral,

$$\int_0^1 \left( \int_0^1 f(x,y) dy\right) dx. \tag{1}$$

La integral interna es $$ \int_0^1 f(x,y) dy.$$ Si $x$ es un número racional, entonces esto es $$ \int_0^1 1 dy = 1.$$ Si $x$ es irracional, entonces esta integral es $$ \int_0^1 2y dy = y^2 \bigg|_0^1 = 1.$$ Así que la integral interna es siempre $1$ . Por lo tanto, podemos reescribir $(1)$ como $$ \int_0^1 1 dx = 1.$$

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Consideremos ahora la segunda integral, $$ \int_0^1 \left( \int_0^1 f(x,y) dx \right) dy. \tag{2}$$ Debemos considerar de nuevo la integral interna. La integral interna es $$ \int_0^1 f(x,y) dx.$$ Si $y$ es cualquier número que no sea $\frac{1}{2}$ , entonces esta integral no es integrable. En resumen, como los racionales y los irracionales son cada uno denso en $[0,1]$ cualquier partición de suma superior de $[0,1]$ dará una estimación de área muy diferente en comparación con cualquier partición de suma inferior de $[0,1]$ .

Esta función es esencialmente la Función Dirichlet y es un ejercicio clásico demostrar que la función de Dirichlet no es integrable [Ver esta respuesta en este sitio a una pregunta similar para una explicación de por qué $(2)$ no es integrable].

Dado que la integral interna en $(2)$ no es integrable, tenemos que esta integral no existe.

Answer 2

La primera integral existe porque si fijamos $x$ entonces el integrando interno puede tomar un valor de $1$ o $2y$ y para ambos, la integral global existe y resulta ser $1$ . Sin embargo, para la segunda integral, su integral interna puede ser considerada como una integración para una función indicadora racional, excepto que en este caso el valor no es $0$ cuando $x$ es irracional pero $2y$ que no existe (demostrado mediante argumentos de densidad).

P.D. Se considera la integración de Riemann.