¿Cómo se demuestra $e^x=\exp x$ para real, no racional $x$ ?

Question

Sea $\exp x=\sum_{n\geq 0} \frac {x^n}{n!}$ . Sea $e=\exp 1$ .

Sea $a,x\in \Bbb R$ , $a>0$ . Definimos $a^x=\sup \{a^r:r\in \Bbb Q, r<x\}$ .

Ya he demostrado que para $x=\frac pq \in \Bbb Q$ , $a^x=\sqrt[q]{a^p}$ (donde ya he demostrado la existencia de raíces, y $a^p=\prod_{i=1}^p a$ ), y utilizando esto, que $\exp (1)^r=\exp (r)$ para racional $r$ .

Ahora quiero demostrar que $e^x$ es decir $\exp (1)^x=\exp (x)$ pero el $\sup$ definición parece demasiado difícil de usar.

¿Alguien podría darme alguna pista?

Answer 1

Desde $a = \exp(1) > 1$ podemos demostrar la igualdad utilizando su definición de $a^x$ como sigue.

Sea $(r_n)$ sea una sucesión creciente de números racionales convergentes a $x$ . Debe demostrar que $a^{r_n} \to a^x$ .

Una vez demostrado esto entonces por continuidad de $\exp(\cdot)$ tenemos

$$\exp(1)^x = \lim_{n \to \infty}\exp(1)^{r_n} = \lim_{n \to \infty}\exp(r_n) = \exp(\lim_{n \to \infty}r_n) = \exp(x).$$

Con $a = \exp(1) > 1$ vemos que $a^{r_n}$ está limitada por encima por $a^x$ desde

$$a^{r_n} \leqslant \sup_{n \in \mathbb{N}}a^{r_n} \leqslant \sup \{a^r:r\in \Bbb Q, r<x\} = a^x.$$

Para racionales, $a^r$ está aumentando. Si $r > s$ entonces $a^r = a^{r-s}a^s$ . Desde $r - s > 0$ es sencillo demostrar que para $a > 1$ que $a^{r - s} > 1$ y, por lo tanto $a^{r} > a^{s}.$ Por lo tanto, $(a^{r_n})$ es una secuencia creciente.

Afirmamos que $\sup_{n \in \mathbb{N}}a^{r_n} = a^x.$ Supongamos por el contrario que $\sup_{n \in \mathbb{N}}a^{r_n} < a^x.$ Entonces existe un número racional $r < x$ tal que $a^{r_n} < a^{r}$ para todos $n$ . Sin embargo, dado que $r_n \to x$ existe $m$ tal que $r_m >r$ . Esto implica $a^r < a^{r_m}$ una contradicción.

Por lo tanto,

$$\sup_{n \in \mathbb{N}}a^{r_n} = a^x.$$

Por convergencia monótona

$$a^{r_n} \to a^x.$$