¿Cómo se encuentra la densidad lagrangiana?

Question

En la Mecánica Clásica uno generalmente considera el Lagrangiano como $L = K - U$ donde $K$ es la energía cinética del sistema y $U$ es la energía potencial. Luego se obtienen las ecuaciones de Euler-Lagrange y todo está bien: si tenemos un sistema podemos ingresar la energía cinética y potencial y encontrar el Lagrangiano para ello.

El punto es que ya he visto un objeto diferente: la densidad Lagrangiana $\mathcal{L}$ que, por otro lado, es una $4$-forma en el espacio-tiempo. La principal diferencia es que la acción es la integral de $L$ en el tiempo y la integral de $\mathcal{L}$ en todo el espacio-tiempo.

El problema es que, aparte de eso, no se da ninguna relación entre $\mathcal{L}$ y otras cantidades al principio. Así que por ejemplo, en electrodinámica tenemos

$$\mathcal{L} = -\dfrac{1}{4\mu_0}F^{\alpha \beta}F_{\alpha\beta}-A_\alpha J^\alpha$$

Donde $A$ es el $4$-potencial y $F=dA$ es el tensor electromagnético. No está claro al principio, por qué este es la densidad Lagrangiana correcta en el sentido de que se vuelve un poco difícil ver de dónde proviene.

Entonces, el Lagrangiano en sí es solo $K-U$, pero ¿qué pasa con la densidad Lagrangiana? ¿Cómo se encuentra?

Answer 1

La respuesta más sencilla es "porque eso genera las ecuaciones de Maxwell".

La respuesta ligeramente más difícil es que la densidad Lagrangiana debe ser invariante bajo transformaciones de calibre y un escalar de Lorentz. Los objetos que tenemos a mano son $F_{\alpha\beta}$, $A_\alpha$ y $J^\alpha$. Ahora, algo como $A^\alpha A_\alpha$ queda descartado, porque no es invariante bajo transformaciones de calibre, $A^\alpha A^\beta F_{\alpha\beta}$ y $J^\alpha J^\beta F_{\alpha\beta}$ son 0 (un tensor simétrico contraído con uno antisimétrico), $J^\alpha A^\beta F_{\alpha\beta}$ no es invariante bajo transformaciones de calibre. $F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta}$ por otro lado sí es invariante bajo transformaciones de calibre (porque $F_{\alpha\beta}$ lo es). $A_\alpha J^\alpha$ no es invariante bajo transformaciones de calibre, pero el término adicional es una divergencia total, así que la acción $S = \int d^4 \mathcal L$ será invariante bajo transformaciones de calibre.

Entonces $$\mathcal L = aF^{\alpha\beta}F_{\alpha\beta} - bA_\alpha J^\alpha$$ para algunas constantes $a, b$ es la densidad Lagrangiana de interacción más simple. Puedes fijar las constantes igualándolas a las de las ecuaciones de Maxwell.