Ideales en el anillo de polinomios.

Question

Deje $ \ I$ un ideal en $\ k[x_1,...,x_n]$.

1) Demostrar que $\ 1 \in I$ si y sólo si $\ I =k[x_1,...,x_n]$.

2) Demostrar que $\ I$ contiene una constante distinto de cero si y sólo si $\ I =k[x_1,...,x_n]$.

Así que estoy luchando para demostrar estas afirmaciones, yo no soy bueno en las pruebas, pero estoy tratando de así que tengan paciencia conmigo. Estoy agradecido por la ayuda!

Los intentos de Pruebas

1) ($\rightarrow$) Suponga $\ 1\in I$ a continuación, $\ 1$ actúa un elemento de identidad y envía el conjunto de todos los polinomios en la $\ x_1,...x_n$ vuelta al campo k.

($\leftarrow$) Suponga que$\ I =k[x_1,...,x_n]$, a continuación, $\ 1 \in k[x_1,...,x_n]$ , ya que las propiedades de un anillo conmutativo pide un inverso multiplicativo.

2) ($\rightarrow$) Por la definición del campo k, $$\ k[x_1,...,x_n]= \Bigl\{ \sum c_\alpha \cdot x^\alpha \mid c \neq 0 \Bigr\}$$ for infinitely many $\alfa$.

Yo estoy perdido y me gustaría ayudar, si mis respuestas/ideas son incorrectas agradecería orientación.

Answer 1

Los ideales son subconjuntos de los anillos y, aproximadamente, el trabajo de la siguiente manera: Si $a$ es cualquier elemento de la ideal, a continuación, $a\cdot p$ está en que el ideal para cada $p$ en el ring.

Por lo tanto, (1) Si $1$ es en el ideal, a continuación, para cada posible $p$ en el ring, $1\cdot p$ es en el ideal. Es decir, cada elemento en el anillo está en el ideal, y por lo tanto el ideal es que todo el anillo. Por el contrario, si $I$ es el conjunto de anillo, entonces es obvio que $1$ es en el ideal.

Usted puede atacar número (2) el uso de los ya establecidos resultado (1).

Se supone que hay una constante $c$ en el ideal. Entonces, porque la manera en que este ideal funciona, cada polinomio multiplicado por $c$ es en el ideal. En particular, la constante polinomio $c^{-1}$ (asumiendo $k$ es un campo, este elemento existe). Bueno, esto significa que $c\cdot c^{-1}$ (es decir, 1) es en el ideal, y a causa de (1), el ideal es que todo el anillo. Lo contrario es obvio: si $I$ es el conjunto de anillo, a continuación, contiene, en particular, cada polinomio constante.

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Como un comentario, para este tipo de pruebas, si usted no sabe cómo proceder, recordar las definiciones de todos los conceptos involucrados (en este caso, el campo, entonces el anillo, entonces lo ideal). Si que las definiciones no ayuda, trate de buscar en otras definiciones equivalentes o casos especiales que te ayudarán a ganar la intuición (por ejemplo, el $n=1$ caso anterior). También, hay varias técnicas de lógica resolver implicaciones.

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Si desea más generalidad, podría probar la siguiente y la prueba es básicamente el mismo. Si $p$ es invertible en el anillo (es decir, $p$ es una unidad), entonces si $p$ pertenece a un ideal $I$, a continuación, $I$ es el conjunto de anillo.

Answer 2

Creo que tienes la idea correcta. Si $1 \in I$, a continuación, $\forall f(x), 1 \cdot f(x) = f(x) \in I, \text{ so } f \in k[x_1, \ldots , x_n].$ Si $c$ es un no-cero de la función constante con $c \in I$, a continuación, $c \cdot 1/c = 1 \in I$ así que usted puede utilizar el resultado de la primera.