¿Cómo puedo probar que $a_n=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}$ no es una secuencia de Cauchy?

Question

En primer lugar, tengo que decir que no tiene sentido para mí, porque estoy seguro de que $\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2}$ es una secuencia de Cauchy de forma tan natural en mi mente el fruto de uno "debe" convergen demasiado. Pero esta es una tarea así que supongo que mi intuición es mal esta vez. Esto es lo que he hecho hasta ahora: Existe $N\in \mathbb{N}$. Así, $$ \begin{aligned} |a_{n+N}-a_n| =|\sum_{k=1}^{n+N} \frac{1}{k}-\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}|= |\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{n+N}|=\frac{1}{n+1}+\\ \frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{n+N} \geq \frac{N}{n+N} \geq \epsilon \end{aligned} $$ Yo probablemente no lo suficientemente capacitado en el álgebra para continuar a partir de aquí.

Edit: tengo que encontrar una $\epsilon$ que satisface esta expresión.

Answer 1

Buen inicio. Ahora observe que el $$\frac{1}{n+1}+\cdots+\frac{1}{n+N}\ge \frac{N}{n+N}$$ Con la elección adecuada de los $N$, esto va a ser mayor que la de $0.5$ (por ejemplo).

Answer 2

Estos son grandes respuestas. Voy a intentar escribir una detallada de la prueba directa.

Pre-prueba:

La secuencia de Cauchy definición: una secuencia $a_n$ es una secuencia de Cauchy si para cualquier $\epsilon>0$ existe $N\in \mathbb{N}$ tal que para cualquier par $n,m>N$ tenemos $|a_m-a_n|<\epsilon$.

Así que para demostrar que una secuencia no es una secuencia de Cauchy tenemos que mostrar que existe una $\epsilon>0$ tal que para cualquier $N\in \mathbb{N}$ existe $n,m>N$ tal que $|a_m-a_n|\ge \epsilon$.

La secuencia que se indica: $a_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$.
Vamos a tratar de encontrar esto $\epsilon$:
Sin pérdida de generalidad, podemos suponer $m>n$. Así, $ |a_m-a_n| = |\sum_{k=1}^m \frac{1}{k}-\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}|=|\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{m}| $
$=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{m} \ge (m-n)\frac{1}{m}=\frac{m-n}{m}$
Queremos una constante $\epsilon$, se puede elegir $m=2n$ conseguir $\epsilon=\frac{2n-n}{2n}=\frac{n}{2n}=\frac{1}{2}$(por ejemplo).

Formalmente:

$|a_m-a_n| = |\sum_{k=1}^m \frac{1}{k}-\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}|=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{m}\ge (m-n)\frac{1}{m}=\frac{m-n}{m} $
$\Leftrightarrow |a_{2(N+1)}-a_{N+1}|\ge \frac{2N+2-(N+1)}{2N+2}=\frac{N+1}{2(N+1)}=\frac{1}{2}.$
Definimos $\epsilon=\frac{1}{2}$, para un determinado $N$ elegimos $n=N+1$ $m=2(N+1)$
$\Rightarrow (a_n)_{n=1}^\infty$ no es una secuencia de Cauchy. $\Box$

Answer 3

Para cada $n$ tenemos $$a_n:=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}\in\mathbb{R}$$ Supongamos que la secuencia de $\{a_n\}_n$ es de Cauchy de la secuencia. Desde $\mathbb{R}$ es completa (es decir, cada secuencia de Cauchy en $\mathbb{R}$ converge a algún elemento en $\mathbb{R}$), entonces existe algún $a\in\mathbb{R}$ tal que $\lim_na_n=a$. Pero $$\lim_na_n=\sum^{\infty}_{k=1}\frac{1}{k}=+\infty$$ Y $\infty\notin\mathbb{R}$.

Answer 4

Suponga que $a_n$ es una secuencia de Cauchy.

A continuación, para $\epsilon=\frac{1}{2}$ tenemos que $\exists n_0 \in \Bbb{N}$ tal que $$|a_m-a_n|=|\frac{1}{n+1}+....+\frac{1}{m}|<\frac{1}{2},\forall m>n \geq n_0$$

Para $m=2n>n\geq n_0$ hemos

$$\frac{1}{2}=n\frac{1}{2n} =\frac{1}{2n}+...+\frac{1}{2n} \leq\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n}<\frac{1}{2}$$

Por lo tanto $1/2<1/2$, lo que claramente es una contradicción