Si $f$$L^{p}$, demuestran que, a $\lim \int_{x}^{x+1} f(t) dt = 0$

Question

Si $f$$L^p$, demuestran que, a $\lim_{x \to \infty} \int_{x}^{x+1} f(t) dt = 0$

Es fácil pensar que la integración debe ser desvanecerse $x \to \infty $ pero no puedo escribir con las matemáticas.

Supongamos que no. Entonces no existe $P$ que si $p\geq P$$\int_{p}^{p+1} f(t)dt >0$. Así que con $p_1=P$$p_k=p_{k+1}-1$,

$\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}\int_{p_k}^{p_{k+1}}f(t)dt$ debe $>\infty$(creo)

Por favor, ayudar. Gracias!

Answer 1

Gracias a zhw para la captura de un descuido.

Escribir $\mathbb{R} = \bigcup_n [n,n+1)$ y, a continuación, $$\int_\mathbb{R} |f|^p = \sum_n \int_{[n,n+1)} |f|^p,$$ y por lo tanto $$\int_{[n,n+1)} |f|^p \stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow} 0.$$

Si $p=1$, hemos terminado, de lo contrario, supongamos $p>1$.

Desde $$\left(\int_{[a,b)} |f|\right)^p = \left(\int_{[a,b)} |f|1\right)^p \le \int_a^b |f|^p \left( \int_a^b 1^{p \over p-1} \right)^{p-1},$$ tenemos $$\int_{[n,n+1)} |f| \le \int_{[n,n+1)} |f|^p .$$

Answer 2

El uso de Titular a ver

$$(1)\,\,\,\,|\int_x^{x+1}f\,| \le \int_x^{x+1}|f| = \int_x^{x+1}|f|\cdot 1 \le (\int_x^{x+1}|f|^p)^{1/p}\cdot (\int_x^{x+1}1)^{1/q}=(\int_x^{x+1}|f|^p)^{1/p}.$$

Debido a $f\in L^p, \int_x^{x+1}|f|^p \to 0$ por el teorema de convergencia dominada. Que muestra $(1) \to 0$ como se desee.

Answer 3

No tienes la correcta negación del límite de hipótesis. Recuerde que el opuesto de

$f(x) \to b$ $x \to \infty$ si para cada a $\varepsilon>0$ hay un $n$ tal que $\lvert f(x)-b \rvert < \varepsilon$ todos los $x>n$

es

$f(x) \not\to b$ $x \to a$ si hay un $\varepsilon>0$ tal que para cada a $n$ hay un $x>n$ que $\lvert f(x)-b \rvert > \varepsilon$.

En otras palabras, para algunos "malos $\varepsilon$", puedo encontrar la "mala $x$" tan grande como me gusta, que no hago lo que quiero.

(Nota: esto es bastante difícil de pensar. Es más fácil pensar a ti mismo "yo puedo hacer una secuencia $(x_n)$, de modo que $f(x_n)$ no convergen, o converge a algo distinto de $b$.")

En este caso, supongamos que el límite no es cero. Entonces no es $\varepsilon>0$ tal que $$ \left\lvert \int_x^{x+1} f \right\rvert > \varepsilon \tag{1} $$ para $x$ arbitrariamente grande. Por lo tanto, hay una infinita aumento de la secuencia de $(x_n)_{n=0}^{\infty}$ que $x_{n+1}-x_n>1$ (de modo que los intervalos de integración son distintos), y (1) posea. Pero, a continuación, $$ \infty > \frac{1}{\varepsilon^p}\int_{-\infty}^{\infty} \lvert f \rvert^p \geqslant \sum_{n} \int_{x_n}^{x_{n+1}} \left\lvert \frac{f}{\varepsilon} \right\rvert^p $$ Ahora, Hölder la desigualdad dice $$ \int_A \lvert f \rvert \leqslant (\mu(A))^q \int_A \lvert f \rvert^p, $$ así que la siguiente desigualdad es $$ \sum_{n} \int_{x_n}^{x_{n+1}} \left\lvert \frac{f}{\varepsilon} \right\rvert^p \geqslant 1^{-q}\sum_{n} \frac{1}{\varepsilon} \int_{x_n}^{x_{n+1}} \lvert f \rvert \geqslant\sum_{n} \frac{1}{\varepsilon} \left\lvert \int_{x_n}^{x_{n+1}} f \right\rvert > \sum_n 1 = \infty, $$ lo que da una contradicción.

(Esto se generaliza a cualquier medibles disección de $\mathbb{R}^n$ en el mismo camino, por ejemplo. O, de hecho, cualquier suficientemente no-degenerada medir el espacio con medida infinita.)