Probando la continuidad uniforme de la función trigonométrica arctan

Question

En mi asignación tengo que probar que la siguiente función es uniformemente continua:

$$f(x) = \arctan x \cdot \sin\left ( \frac {1} {x} \right ) $$ en el intervalo abierto $(0, \infty ) $ .

Pensé en probar los límites de un lado $ x \to 0^+$ y $ x \to \infty ^-$ .

$$ \lim_ {x \to\infty ^-}= \frac { \pi } {2} \cdot0 =0.$$

Para el segundo límite pensé en usar el teorema de la compresión. Por favor, hágame saber si he cometido un error:

$$0 \le \arctan x \cdot \sin \left ( \frac {1} {x} \right ) \le \arctan x .$$

Por lo tanto, desde el teorema de la compresión:

$$ \lim_ {x \to 0^+} \arctan x \cdot\sin\left ( \frac {1} {x} \right ) =0$$

Desde $ \arctan $ y $ \sin $ son continuos siempre que se define, podemos decir que la función es uniformemente continua, ya que existen los límites de un lado.

Sólo tengo una preocupación aquí: el cero no está definido aquí, en el intervalo abierto desde el principio. ¿Es un problema usar el teorema de la compresión aquí? Si lo es, pensé en usar $ \frac {x} {x+1} $ en lugar de $0$ .

Gracias,

Alan

Answer 1

Para encontrar el límite:

$$\lim_{x\to 0^+}f(x)=\lim_{x\to 0^+}\arctan(x)\sin\left(\frac{1}{x}\right)$$

$$=\lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x}\arctan(x).x\sin\left(\frac{1}{x}\right)$$

$$=\lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x}\arctan(x).\lim_{x\to 0^+}x\sin\left(\frac{1}{x}\right)$$

$$=1.0=0$$