Encontrar un límite inferior ajustado para $\left(\frac{1+x}{(1+x/2)^2}\right)^n$

Question

Estoy tratando de encontrar un límite inferior ajustado para $\left(\frac{1+x}{(1+x/2)^2}\right)^n$ en función de $x$ y $n$ y para los grandes $n$ , donde $x$ cambios con $n$ tal que $\lim_{n\to\infty}x=0$ .

No estoy seguro de si mi enfoque para resolver esto es correcto o no, pero esto es lo que hice: \begin {align*} \left ( \frac {1+x}{(1+x/2)^2} \right )^n&=e^{n( \ln ({1+x})-2 \ln {(1+x/2)})} \\ &=e^{n(x- \frac {x^2}{2}+ \frac {x^3}{3}- \frac {x^4}{4}+ \cdots -2( \frac {x}{2}- \frac {x^2}{8}+ \frac {x^3}{24}- \cdots ))} \\ &=e^{n(- \frac {x^2}{4}+ \frac {x^3}{4}- \frac {15x^4}{64}+ \cdots )} \\ & \geq e^{n(- \frac {x^2}{4})} \\ &=1-(n \frac {x^2}{4})+(n \frac {x^2}{4})^2- \cdots \\ & \geq 1-(n \frac {x^2}{4}) \end {align*} Sabemos que $\lim_{n\to\infty}x=0$ pero no sabemos si $\lim_{n\to\infty}nx^2=0$ . Por lo tanto, la última desigualdad no es necesariamente correcta porque la suma de los términos después de $1-(n\frac{x^2}{4}) $ no puede ser mayor que cero.

Answer 1

Escriba $y = x/2$ . Entonces $\left(\frac{1+x}{(1+x/2)^2}\right)^n =\left(\frac{1+2y}{(1+y)^2}\right)^n =\frac{(1+2y)^n}{(1+y)^{2n}} $ .

Desde $(1+2y)^n =\sum_{j=0}^n \binom{n}{j}2^jy^j $ y $\frac1{(1+y)^{2n}} =\sum_{k=0}^{\infty} \binom{2n+k-1}{k}(-1)^ky^k $ ,

$\begin{array}\\ \frac{(1+2y)^n}{(1+y)^{2n}} &=\sum_{j=0}^n \binom{n}{j}2^jy^j\sum_{k=0}^{\infty} \binom{2n+k-1}{k}(-1)^ky^k\\ &=\sum_{j=0}^n\sum_{k=0}^{\infty}y^{j+k} \binom{n}{j}2^j \binom{2n+k-1}{k}(-1)^k\\ &=\sum_{m=0}^{\infty}y^m\sum_{j=0}^n\binom{n}{j}2^j \binom{2n+m-j-1}{m-j}(-1)^{m-j}\qquad j+k = m, k = m-j\\ &=\sum_{m=0}^{\infty}y^m(-1)^m\sum_{j=0}^n\dfrac{n!(2n+m-j-1)!}{j!(n-j)!(m-j)!(2n-1)!}2^j (-1)^{j}\\ &=\dfrac{n!}{(2n-1)!}\sum_{m=0}^{\infty}y^m(-1)^m\sum_{j=0}^n\dfrac{(2n+m-j-1)!}{j!(n-j)!(m-j)!}2^j (-1)^{j}\\ \text{so}\\ \frac{(1+x)^n}{(1+x/2)^{2n}} &=\dfrac{n!}{(2n-1)!}\sum_{m=0}^{\infty}(-1)^m2^{-m}x^m\sum_{j=0}^{\min(m, n)}\dfrac{(2n+m-j-1)!}{j!(n-j)!(m-j)!}2^j (-1)^{j}\\ \end{array} $

Con esto, puedes obtener la serie de potencia.

Nota: Wolfy dice que esto comienza como

$1-\dfrac{nx^2}{4}+\dfrac{nx^3}{4}+\dfrac{n(n-7)x^4}{32} -\dfrac{n(n - 3) x^5}{16} - \dfrac{n (n^2 - 33 n + 62) x^6}{384}+O(x^7) $ .

Answer 2

Empieza a considerar $$y=\frac{1+x}{1+\left(\frac x2 \right)^2}$$ y utilizar a Taylor en torno a $x=0$ esto dará $$y=1+x-\frac{x^2}{4}-\frac{x^3}{4}+O\left(x^4\right)$$ Ahora, utilice la expansión binomial y obtenga $$y^n=1+nx+\frac n4 (2n-3)x^2+\frac n{12}(2 n^2-9 n+4)x^3+O\left(x^4\right)$$ Definir $t=nx$ y se puede escribir como $$y^n=1+t+\left(\frac{1}{2}-\frac{3}{4 n}\right) t^2+\left(\frac{1}{6}-\frac{3}{4 n}+\frac{1}{3 n^2}\right)t^3+O\left(t^5\right)\tag 1$$ Así, para los grandes $n$ $$y^n <1+t+\frac 12 t^2+\frac 16 t^3\tag 2$$