Dos últimos dígitos de $9^{1500}$

Question

He leído esto PDF donde se explica cómo encontrar la última cifra de un número.

Si encontrara el último dígito de $9^{1500}$ Yo lo escribiría simplemente como $(3^{2})^{1500}$ y luego utilizar los patrones en el PDF para $3^{4n}$ .

El problema aquí es que se me pide que encuentre el último $2$ dígitos. Creo que podría tratar de encontrar patrones para los 2 últimos dígitos de $3^x$ o para $9^x$ pero esto supondría una gran pérdida de tiempo, y dado que este problema debía resolverse a mano, creo que no es el mejor método. También estoy teniendo problemas para encontrar literatura sobre estos problemas de encontrar los últimos dígitos de exponentes grandes. ¿Alguien me puede recomendar alguna?

Answer 1

$(10-1)^{1500} = 10^{1500} - \binom{1500}{1}10^{1499}{1^1} + ... + \binom{1500}{1498}10^21^{1498} - \binom{1500}{1499}10^11^{1499} + 1^{1500}$ Sólo el último término no es divisible por cien. Por lo tanto, $9^{1500} \equiv 1 \mod 100$ $i.e.$ los dos últimos dígitos son 01.

Answer 2

Calcular los dos últimos dígitos es como tomar el número $\mod 100$ .

$$9 \equiv 9\mod 100\\ 9^2 \equiv 81\mod 100\\ 9^3=729\equiv 29\mod 100\\ 9^4=9\cdot 9^3 \equiv 9\cdot 29 = 261\equiv 61\mod 100\\ 9^5\equiv 9\cdot 61 = 549\equiv 49\mod 100\\ 9^6 \equiv 9\cdot 49 = 441\equiv 41\mod 100\\ 9^7\equiv 9\cdot 41 = 369\equiv 69\mod 100\\ 9^8\equiv 9\cdot 69 = 721\equiv 21\mod 100\\ 9^9\equiv 9\cdot 21 = 189\equiv 89\mod 100\\ 9^{10}\equiv 9\cdot 89 = 801\equiv 1\mod 100\\ $$

Ahora, sabiendo que $9^{10}\equiv 1\mod 100$ tu tarea restante debería ser más fácil.

Answer 3

$$\phi(100) = 40 \therefore 9^{1500} \equiv (9^{40})^{37}9^{20} \equiv 9^{20} \equiv \pm1, \pm51 \pmod{100}$$

ya que todos estos cuadran con $1$ mod 100. Para encontrar cuál de los cuatro es el correcto: $$9^{1500} \equiv 81^{750} \equiv 1^{750}\equiv 1 \pmod{20} $$ Así que $01$ .

Answer 4

SUGERENCIA:

$$9^{2n}=(10-1)^{2n}=(1-10)^{2n}\equiv1-\binom{2n}110^1\pmod{100}\equiv1-20n$$

$\implies9^{2n}\equiv1\pmod{100}$ si $5|n$

Si no $1-20n\equiv1+80n\pmod{100}$

Answer 5

$$9^2\equiv -19\pmod{100}$$

$$\implies 9^4\equiv 361\pmod{100}$$

$$\implies9^4\equiv 61\pmod{100}$$

$$\implies9^8\equiv 3721\pmod{100}$$

$$\implies 9^8\equiv21\pmod{100}$$

$$\implies9^8.9^{2}\equiv(21.81)\pmod{100}$$

$$\implies9^{10}\equiv1701\pmod{100}$$

$$\implies9^{10}\equiv 01\pmod{100}$$

$$\implies9^{1500}\equiv 01\pmod{100}$$