Evaluar $\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\frac{1}{2!}+\frac{1}{5}\frac{1}{3!}+\dots$

Question

La pregunta es Evaluar : $$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\frac{1}{2!}+\frac{1}{5}\frac{1}{3!}+\dots$$

lo único que yo podía hacer es :

$$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\frac{1}{2!}+\frac{1}{5}\frac{1}{3!}+\dots=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+2)n!}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{(n+2)!}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{(n+2)!}+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+2)!}$$

He a $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+2)!}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}-1-\frac{1}{2}=e-\frac{3}{2}$$

Ahora, yo no soy capaz de ver lo $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{(n+2)!}$$ sería.

Yo estaría muy agradecido si alguien me puede ayudar a aclarar esto.

Gracias.

Answer 1

$$\text{From }\frac{n+1}{(n+2)!},$$ $$=\frac{n+2-1}{(n+2)!}=\frac1{(n+1)!}-\frac1{(n+2)!}$$

Puede usted identificar la Telescópico de la serie?

El sobreviviente se $$\frac1{2!}$$

Answer 2

Sugerencia : $\displaystyle f(x)=\sum\frac{x^n}{(n+1)!}\iff f'(x)=\sum\frac{n\cdot x^{n-1}}{(n+1)!}\quad,\quad S=f'(1)$.

Answer 3

Desde $\displaystyle e^x=\sum_{n=0}^\infty \frac {x^n}{n!}$,$\displaystyle e^x-1-x=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{n+2}}{(n+2)!}$, y $$\frac{e^x-1-x}{x}=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{n+1}}{(n+2)!},$$ así $$\left(\frac{e^x-1-x}{x}\right)'=\sum_{n=0}^\infty\frac{(n+1)x^n}{(n+2)!}.$$ Evaluar en $x=1$, y restar $1/2$ (el término correspondiente a $n=0$) para encontrar el valor que usted está después. Usted obtener $$\frac12=1-\frac12=\left(\frac{e^x(x-1)+1}{x^2}\right)_{x=1}-\frac12=\sum_{n=1}^\infty\frac{n+1}{(n+2)!}.$$

(Por cierto, tienes un pequeño error en su análisis, ya que $\displaystyle e=\sum_{n=0}^\infty\frac1{n!}$; en la línea $6$ usted escribió la serie a partir de a $n=1$.)

Answer 4

$\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{5}\dfrac{1}{3!}+\dots\\=\displaystyle\sum_3^\infty\dfrac{1}{n}\times\dfrac{1}{(n-2)!}\\=\displaystyle\sum_3^\infty\dfrac{n-1}{n!}\\=\displaystyle\sum_3^\infty\left[\dfrac{1}{(n-1)!}-\dfrac{1}{n!}\right]\\=\dfrac{1}{2!}$