la expectativa de una barra de chocolate

Question

Así que mi amigo afirma que si divido una barra de chocolate al azar en dos piezas, entonces el tamaño esperado de la pieza más grande es $\frac{3}{4}$ de la barra. No puedo entender cómo llegó a este valor...

Alguien puede explicar esto? Si se puede, se puede proporcionar algún tipo de prueba?

p.s. sería útil pensar de esta barra de chocolate como 1D array :)

ACTUALIZACIÓN

Imaginar la barra de caramelo es un mundo-famosa barra de chocolate, los que están rotos en pedazos. Sin embargo, este especial de una barra de chocolate tiene n trozos. Si se nos rompió la barra de chocolate de forma aleatoria a lo largo de estos fragmentos, ¿cuál sería el tamaño esperado del trozo grande? Mi amigo afirma que es $\leq{\frac{3}{4}}$.

Answer 1

Definir $Y = \max \{ U,1 - U\} $ donde $U$ es un uniforme de$(0,1)$ variable aleatoria. Entonces, por la ley de total probabilidad (acondicionado en $U$), $$ {\rm E}(Y) = \int_0^1 {{\rm E}(S|U = u)du} = \int_0^{0.5} {(1 - u)du} + \int_{0.5}^1 {udu} = \frac{3}{4} $$

EDIT. La discreta caso es incluso más elementales, sino que implica más cálculos.

Si $n$ (el número de trozos) es impar (y mayor que $1$), entonces la proporción es igual a la $k/n$, $k=n-1,n-2,\ldots,(n+1)/2$, con una probabilidad de $2/(n-1)$ (por simetría). Por lo tanto, su expectativa es igual a $$ \sum\limits_{k = (n + 1)/2}^{n - 1} {\frac{k}{n}} \frac{2}{{n - 1}} = \frac{{3n - 1}}{{4n}} < \frac{3}{4}. $$ Si $n$ es par, entonces la proporción es igual a la $k/n$, $k=n-1,n-2,\ldots,n/2+1$, con una probabilidad de $2/(n-1)$ (de nuevo, por simetría), y a $(n/2)/n = 1/2$ con una probabilidad de $1/(n-1)$. Por lo tanto, su expectativa es igual a $$ \sum\limits_{k = n/2 + 1}^{n - 1} {\frac{k}{n}} \frac{2}{{n - 1}} + \frac{1}{{2(n - 1)}} = \frac{{3n - 4}}{{4n - 4}} < \frac{3}{4}. $$ Es interesante notar que $$ \frac{{3n - 4}}{{4n - 4}} = \frac{{3(n - 1) - 1}}{{4(n - 1)}}. $$ Por lo tanto, las expectativas de $n$ $n-1$ son iguales para $n > 2$ incluso.

Answer 2

La pieza más grande es siempre entre 1/2 y 1. Si la ruptura se distribuye uniformemente a lo largo de la barra, la pieza más grande es distribuido uniformemente entre 1/2 y 1. Esto le da el valor esperado de 3/4.

Agregó que cuando tenemos líneas de rotura: Si hay $n$ piezas, hay $n-1$ de las líneas de rotura, todos igualmente probables. Si $(n-1)$ es, incluso, el tamaño de la pieza más grande tiene oportunidad $\frac{2}{n-1}$ de cualquier paso entre el$\frac{n+1}{2n}$$\frac{n-1}{n}$, por lo que la expectativa es $\frac{3n-1}{4n}$. Si $(n-1)$ es impar no es $\frac{1}{n-1}$ posibilidad de que el "más grande" que la pieza es $\frac{1}{2}$ $\frac{2}{n-1}$ para cada valor entre el$\frac{n+1}{2n}$$\frac{n-1}{n}$, dando $\frac{3n-4}{4n-4}$ como el valor esperado. Como se dijo en otras respuestas, esto es siempre por debajo de las $\frac{3}{4}$, pero los enfoques que como $n \to \infty$