Es esto, en esencia, preguntando por la mínima polinomio?

Question

La pregunta que estoy trabajando define algunos algebraicas número $\zeta$. Se está pidiendo para mí encontrar un polinomio $P(x)\in\mathbb{Q}[x]$ tal que $\mathbb{Q}[\zeta]\cong\mathbb{Q}[x]/P(x)\mathbb{Q}[x]$.

Ahora esto se parece mucho a la del Primer Teorema de Isomorfismo para mí, donde $P(x)\mathbb{Q}[x]$ es el núcleo de nuestro homomorphism $\mathbb{Q}[x]\rightarrow \mathbb Q[\zeta]$, que es esencialmente la evaluación de $\mathbb Q[x]$$\zeta$.

Pero el núcleo de mapa que acaba de ser racional alguno polinomio con una raíz de ser $\zeta$, ¿no? Estoy simplificando el escenario de aquí, o es realmente sólo una forma elegante de pedir el polinomio mínimo de a $\zeta$?

Answer 1

Aquí es un ejemplo que muestra que usted realmente necesita el polinomio a ser irreductible. Considere la posibilidad de $\mathbb{Q}[i]$. Como $i$ es una raíz de $x^2+1$, y como $x^2+1$ es irreducible sobre $\mathbb{Q}$, se puede demostrar que $$ \mathbb{Q}[i]\cong\mathbb{Q}[x]/(x^2+1). $$ Lo que si se trató de otro polinomio con $i$ como raíz, como $(x^2+1)^2$? Es cierto que $$ \mathbb{Q}[i]\cong\mathbb{Q}[x]/((x^2+1)^2)? $$ Tenga en cuenta que cualquier polinomio en el ideal de $((x^2+1)^2)$ que no es una constante polinomio tiene grado al menos $4$. Por lo tanto $x^2+1$ no está en el ideal. Sin embargo, $(x^2+1)^2$ es en el ideal. Así, en $\mathbb{Q}[x]/((x^2+1)^2)$, tenemos un elemento distinto de cero $a$ tal que $a^2=0$. Por lo tanto $\mathbb{Q}[x]/((x^2+1)^2)$ no es una integral de dominio. Sin embargo, es fácil ver que $\mathbb{Q}[i]$ es una parte integral de dominio. Así $$ \mathbb{Q}[i]\no\cong\mathbb{Q}[x]/((x^2+1)^2), $$ ejemplificando lo que puede ir mal cuando el polinomio no es irreducible.