Deje $P^{h}, h \geqslant 0$ ser una transición kernel para algunos homogéneo de Markov del proceso $X_t$, $\mathbb{E}|X_t|<\infty$: $$ P_{X_{t+h},X_t}(a,B) = \int\limits_{A}P^h(x,B)P_{X_t}(dx) $$ donde$P_{X_{t+h},X_{t}}(A,B) = \mathbb{P}(X_{t+h}\in A, X_{t} \in B)$$P_{X_t}(C) = \mathbb{P}(X_t \in C)$. A continuación, $P^h$ puede ser considerado como un operador lineal actuando en continuo delimitado funciones: $$ P^h f(x) = \int f(y)P^h(x,dy) $$ Deje $f(x)$ un punto fijo de $P^h$ para cualquier $h \geqslant 0$: $P^h f = f$. Ahora vamos a $\mathcal{F}_{t} = \sigma(X_{s} \mid s \leqslant t)$ ser una sigma-álgebra generada por $\{X_s \mid s \leqslant t\}$. Quiero mostrar que $$ \mathbb{E}( f(X_{t+s}) \mid \mathcal{F}_t) = f(X_t) $$ para cualquier $s \geqslant 0$. Puedo hacerlo de manera informal: $$ \mathbb{E}( f(X_{t+s}) \mid X_{t}=x ) = \int f(y) P^{s}(x,dy) = P^s f(x) = f(x). $$ Por favor me ayudan a hacerlo de manera estricta.
Respuesta
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Usted está utilizando algún tipo de no-fórmulas usuales para los kernels de que el proceso de Markov. Creo que es mejor empezar con lo siguiente: $$ \mathsf P_x(X_{t+h}\B|\mathscr F_t) = \mathsf P_{X_t}(X_h\B)=P^h(X_t,B) $$ donde la identidad de la primera es la definición de la propiedad de Markov, y la segunda es la definición del núcleo. Claramente, por escrito integrales tiene la misma expresión de las expectativas (al menos para acotado medible funciones): $$ \mathsf E_x\left[f(X_{t+h})|\mathscr F_t\right] = \mathsf E_{X_t}[f(X_h)]=(P^hf)(X_t) \stackrel{daño}{=}f(X_t), $$ donde $\stackrel{harm}{=}$ mantiene bajo el supuesto de $f$ es armónica: $P^sf =f$.
