La genética y la probabilidad ("distinto" caso)

Question

(Se cambió de Bio SE debe a la matemática de la naturaleza del problema).

Si un hombre y una mujer, ambos portadores de una enfermedad autosómica recesiva trastorno (es decir, tener el genotipo $Aa$), la producción de tres niños, ¿cuál es la probabilidad de que una o más los niños que tienen el trastorno?

La clave de respuesta sugiere encontrar la probabilidad de que los niños de todo ser normal y, a continuación, resta que desde el 1 de: $$Aa \times Aa$$ $$P_{AA\:or\:Aa}=\frac{3}{4}$$ $$\frac{3}{4} \times \frac{3}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{27}{64}\tag{3 normal}$$ $$1-\frac{27}{64}=\frac{37}{64}\tag{≥1 abnormal}$$ Entiendo la lógica detrás de eso: Si no están del todo normal, entonces al menos uno de ellos tiene que ser anormal.

Sin embargo, lo que si yo no quería usar el $1-x$ método? ¿Y si yo quería hacerlo de la manera difícil?

Traté de romper en tres casos: 1 anormales, 2 anormales, anormales. $$P_{aa}=\frac{1}{4}$$ $$\frac{1}{4} \times \frac{3}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{9}{64}\tag{1 abnormal, 2 normal}$$ $$\frac{1}{4} \times \frac{1}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{64}\tag{2 abnormal, 1 normal}$$ $$\frac{1}{4} \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{64}\tag{3 abnormal, 0 normal}$$ $$\sum P=\frac{13}{64}$$ que, obviamente, no es la respuesta correcta. ¿Qué hay de malo con la manera en que yo estoy haciendo?

Answer 1

$$P_{aa}=\frac{1}{4}$$ $$\frac{1}{4} \times \frac{3}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{9}{64}\tag{1 abnormal, 2 normal}$$ $$\frac{1}{4} \times \frac{1}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{64}\tag{2 abnormal, 1 normal}$$ $$\frac{1}{4} \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{64}\tag{3 abnormal, 0 normal}$$ El error en su argumento radica en que la primera y la segunda declaraciones. Supongamos que los tres niños se $A,B,C$.

En el primer caso, donde 1 es anormal y 2 son normales, podemos tener,

Anormal - $A$, Normal - $B,C$

Anormal - $B$, Normal - $C,A$

Anormal - $C$, Normal - $A,B$

Por lo tanto, esta condición se cumple en tres resultados, mientras que sólo uno ha sido contado. La probabilidad para este caso, entonces, se convierte, $$3\times\frac{1}{4} \times \frac{3}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{27}{64}$$ Del mismo modo, en el segundo caso,

$$3\times\frac{1}{4} \times \frac{1}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{9}{64}$$ que da el resultado deseado.

En general, para obtener el número de resultados para el caso en particular, necesitamos conocer en cuántas combinaciones ese caso puede ocurrir. En el primer caso, 1 niño es anormal y puede ser seleccionado a partir de 3 niños en $\binom{3}{1}=3$ maneras. Por lo tanto, tenemos tres resultados posibles.

Answer 2

Tu error está en que se especifica que la primera será anormal en el cálculo $$\frac14\times\frac34\times\frac34 $$ To obtain the correct result you should sum up this probability three times instead, as any one of the three children can be abnormal. This gives you $$3\times \frac14\times\frac34\times\frac34$$ or equivalently (to make it clear)$$\left(\frac14\times\frac34\times\frac34\right)+\left(\frac34\times\frac14\times\frac34\right)+\left(\frac34\times\frac34\times\frac14\right)=3\times \frac14\times\frac34\times\frac34$$ a ser la probabilidad de que haya exactamente un niño a ser anormal. El mismo para los dos anormal de los niños. De, por supuesto, si todos los tres son normales o anormales, a continuación, sólo hay una manera. Esto da el resultado $$3\times \frac{9}{64}+3\times \frac{3}{64}+\frac1{64}=\frac{37}{64}$$, que es el resultado correcto (comparando con el otro método).

Answer 3

Para empezar, vamos a voltear algunas monedas!

La probabilidad de un tirón una moneda de una sola vez y la puntuación de las cabezas es

$1 - \frac{1}{2} = 0.5$

porque hay dos resultados posibles (cabezas [H] o de las colas [T]). Es importante tener en cuenta que estos son independientes de los eventos. Si usted tira la moneda al aire dos veces tiene cuatro posibles escenarios; HH, TH, TH, TT. Tres de estos escenarios características de una cabeza. Por lo tanto, la probabilidad de cabezas que ocurren una vez en dos volteretas es

$1 - \frac{1}{2}^2 = 0.75$

La probabilidad de que dos cabezas se producen a partir de dos volteretas es

$\frac{1}{2}^2 = 0.25$

Tres tirones da ocho de los resultados (HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT), de los cuales, siete dar al menos una cabeza. Por lo tanto, la probabilidad de anotar al menos una cabeza en tres coin flips es

$1 - \frac{1}{2}^3 = 0.875$

Usted debe ser capaz de ver un patrón común formando, el cálculo de la probabilidad de un resultado que ocurren en un determinado número de eventos es:

$1 - \frac{X}{Y}^n$

donde $Y$ es el número de resultados posibles por evento (2, cara o cruz), $X$ es el número de resultados otros de su focal (1, colas), y $n$ es el número de eventos independientes (número de veces que la moneda es volteado). Por lo que la probabilidad de lanzar una sola cabeza en 10 coin flips es

$1 - \frac{1}{2}^{10} = 0.99$

Ahora puedes aplicar esto a tu genética pregunta. Cada padre pasa un alelo a sus hijos, debido a que los alelos se transmiten de forma aleatoria, por lo que la probabilidad de recibir un $a$ desde el padre es

$1 - \frac{1}{2} = 0.5$

y lo mismo para la recepción de una $a$ de la madre es el mismo. Hay cuatro resultados posibles en la descendencia (AA, Aa, aA, aa). La probabilidad de ser $aa$ (la misma que la puntuación de dos cabezas de dos coin flips)

$\frac{1}{4} = 0.25$

El genotipo de cada niño es determinado por dos eventos independientes cada uno con una probabilidad de 0.5, y para cada niño, la probabilidad de ser $aa$ es de 0,25. La probabilidad de que al menos uno de cada tres niños es $aa$ puede ser calculado. Usted tiene tres hijos, estos es el número de eventos ($n$), cada uno tendrá uno de los cuatro posibles genotipos ($Y$), y tres de ellos no se $aa$ ($X$). Por lo tanto la probabilidad de que uno o más de los hijos es $aa$ es

$1 - \frac{X}{Y}^n$

$1 - \frac{3}{4}^3 = 0.578$

Como prueba, la probabilidad de que los padres tienen un hijo y se $aa$ es

$1 - \frac{3}{4}^1 = 0.25$

El resultado es 0.578 (37/64) es porque hay 64 resultados posibles (AA-AA-AA, AA-AA-Aa... aa-aa-aA, aa-aa-aa), de los cuales, 37 cuentan con al menos un hijo / a con $aa$. Esto es análogo a la de los clásicos código genético mesa donde hay tres nucleótidos del codón, y los cuatro nucleótidos que sea posible en cada posición del codón. Por ejemplo, 37, tienen una G en algún lugar en el codón:

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Empecé a esta respuesta en Biología SE donde la pregunta fue publicado originalmente, pero fue eliminado por el tiempo fui post!!!