Suma de dos rango deficiente matrices

Question

Supongamos que tengo dos $m\times n$ donde $m>n$, matrices $A$$B$. El rango de $A$, y el rango de $B$ son estrictamente menor que $n$.

¿Hay alguna (general) condiciones suficientes bajo las cuales nadie puede garantizar que el rango de suma $A+B$ es estrictamente menor que $n$?

Answer 1

Si $\ker(A)\cap \ker(B)\neq \{0\}$, entonces usted sabe que $\ker(A+B)$ no va a estar vacío. Esto es debido a que $(A+B)x=Ax+Bx=0$ si $Ax=Bx=0$.

Por supuesto, esto no es una condición necesaria, pero no es suficiente.

Answer 2

Tomando nota de que

$\qquad\text{im}(A+B)\;\text{is a subspace of im}(A) + \text{im}(B)$,

una condición suficiente es fácil

$\qquad\text{rank}(A)+\text{rank}(B) < n$,

desde entonces $$\begin{align*} \text{rank}(A+B) &=\dim(\text{im}(A+B))\\[4pt] &\le\dim(\text{im}(A) + \text{im}(B))\\[4pt] &\le\dim(\text{im}(A)) + \dim(\text{im}(B))\\[4pt] &=\text{rank}(A) + \text{rank}(B)\\[4pt] &<n \end{align*}$$