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Suma de dos rango deficiente matrices

Supongamos que tengo dos m×n donde m>n, matrices AB. El rango de A, y el rango de B son estrictamente menor que n.

¿Hay alguna (general) condiciones suficientes bajo las cuales nadie puede garantizar que el rango de suma A+B es estrictamente menor que n?

8voto

5xum Puntos 41561

Si ker(A)ker(B){0}, entonces usted sabe que ker(A+B) no va a estar vacío. Esto es debido a que (A+B)x=Ax+Bx=0 si Ax=Bx=0.

Por supuesto, esto no es una condición necesaria, pero no es suficiente.

6voto

quasi Puntos 236

Tomando nota de que

im(A+B)is a subspace of im(A)+im(B),

una condición suficiente es fácil

rank(A)+rank(B)<n,

desde entonces rank(A+B)=dim(im(A+B))dim(im(A)+im(B))dim(im(A))+dim(im(B))=rank(A)+rank(B)<n

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