A una cara y a dos caras cancellability

Question

Hay un semigroup $S$ de derecha y de izquierda-cancelables elementos, pero no los elementos cancelables de ambos lados?

$s\in S$ - cancelación si por cualquier $a,b\in S$ hemos

$$sa=sb\implies a=b$$

y a la derecha-cancelables si $$as=bs\implies a=b.$$

Answer 1

Editado Considerar $f :\mathbb Z \to \mathbb Z$ definido por $f(z)=2z$ $g: \mathbb Z \to \mathbb Z$ definido por $g(2n)=0, g(2n+1)=n$.

A continuación, $f$ es de uno a uno y $g$ es sobre.

Vamos $$S = \{ h_1 \circ h_2 \circ ...\circ h_n | n \in \mathbb N , h_i \in \{ f,g \} \}$$ ser la semigroup generado en $\{ h :\mathbb Z \to \mathbb Z \}$$f$$g$.

Ahora $S$ contiene $f$, lo que es de uno a uno, pues, tiene derecho cancelable, y $S$ contiene $g$ que es sobre lo de la izquierda es cancelable.

Ahora pretendemos que $S$ no contiene dos vías cancelable funciones.

De hecho, asumir la función de $h=h_1 \circ h_2 \circ ...\circ h_n \in S$ es de dos vías se puede cancelar.

Tenga en cuenta que por la construcción de $g \circ f$ es la constante cero la función, que voy a denotar por $0$ por la simplicidad.

Caso 1: $h_1=f$. A continuación, $g \circ h=0= (g \circ f) \circ h$ pero $g \neq g \circ f$ contradicción.

Caso 2: $h_1=g$.

Subcase 2a $h_2=..=h_n=g$. A continuación, $h=g^n$ $h \circ f=0=h \circ (g \circ f)$ pero $f \neq g \circ f$.

Subcase 2b Algunos $h_i=f$. Si usted escoge $i$ a ser el más pequeño para que $h_i=f$,$h_{i-1}=g$, lo que significa $h=0$. Pero es trivial demostrar que $0$ no es cancelable.