Datos de frontera del módulo de una función holomorfa

Question

Dejemos que $f$ sea una holomorfa no evanescente en el disco unitario $D$ . Supongamos que $|f|$ converge a una medida $\mu$ en $\partial D$ como $|z|\rightarrow 1$ en el sentido de que $$\int_{\partial D} |f(r z)| \phi(z) dz \rightarrow \int_{\partial D} \phi(z) d\mu(z)$$ como $r\rightarrow 1$ para cada función continua $\phi$ en $\partial D$ (aquí la primera integral es con respecto a la medida uniforme en $\partial D$ ). Si $\tilde f$ es otra función holomorfa no evanescente tal que $|\tilde f|$ converge a la misma medida $\mu$ ¿debe sostenerse que $f = \tilde f$ ?

Sé que esto es válido si los datos de la frontera para $|f|$ es continua, como en este caso $\log|\tilde f / f|$ es una función armónica que desaparece en la frontera, por lo que debe ser idéntica a 0. Sin embargo, no estoy seguro de cómo generalizar el resultado a los datos de la frontera con valores de medida.

No necesito una prueba completa; una referencia que indique que esto es cierto o falso sería suficiente.

Answer 1

Presumiblemente, querías decir $f=\tilde f$ hasta un factor unimodular. Sin embargo, la respuesta sigue siendo no. Dejemos que $f$ ser un función interna singular . Entonces $|f(rz)|\to 1$ a.e. como $r\to 1^-$ y $|f|\le 1$ en todas partes. Por el teorema de convergencia dominante, $|f |\to 1$ en el sentido de $L^1$ convergencia, y a fortiori como medida. Así, $f$ comparte los valores límite de $|f|$ con $\tilde f(z)\equiv 1$ . (Y con todas las demás funciones interiores singulares).

Puede que le interese el factorización interna- externa .