Sean $X$, $Y$ espacios de Banach. Sea $T \colon X \to Y$ un operador lineal acotado. ¿Bajo qué circunstancias es la imagen de $T$ cerrada en $Y$ (excepto imagen de dimensión finita)?
En particular, me pregunto bajo qué suposiciones $T \colon X \to T(X)$ es una biyección lineal acotada entre espacios de Banach, por lo que al menos es un isomorfismo sobre su imagen por el teorema de la inversa acotada.
Una respuesta a tu última pregunta es que un mapa lineal acotado $T$ entre espacios de Banach es inyectivo con rango cerrado si y solo si está acotado por debajo, lo que significa que existe una constante $c>0$ tal que para todo $x$ en el dominio, $\|Tx\|\geq c\|x\|$. Puedes leer más sobre esto en el Capítulo 2 de _An invitation to operator theory_ de Abramovich y Aliprantis.
Teorema 1: Supongamos que $X$ es un espacio de Banach, $Y$ es un espacio vectorial normado, y $T:X\to Y$ es un operador lineal acotado. Entonces el rango de $T$ es cerrado en $Y$ si $T$ está acotado por debajo.
Prueba: Supongamos que $\mathrm{ran}(T)$ no es cerrado en $Y$. Sea $\delta>0$ dado. El objetivo es mostrar que existe $x\in X$ tal que $\|T(x)\|/\|x\|<\delta$. Dado que $\delta$ es arbitrario, esto demostrará que $T$ no está acotado por debajo.
Dado que $\mathrm{ran}(T)$ no es cerrado, existe una sucesión $\{y_n\}$ en $\mathrm{ran}(T)$ y un punto $y\in Y\setminus\mathrm{ran}(T)$ tal que $y_n\to y$. Esto significa que existen $x_n\in X$ correspondientes tal que $y_n=T(x_n)$. Dado que $T$ es continuo, no puede ser que $\{x_n\}$ sea una sucesión convergente o de lo contrario $y$ estaría en el rango de $T$.
Dado que $\{x_n\}$ no converge, no es de Cauchy. Entonces existe un $\epsilon>0$ tal que $\forall N\in\mathbb{N} \ \ \exists n,m \ge N $ tal que $\|x_n-x_m\|>\epsilon$. Por otro lado, dado que $y_n\to y$, hay un $M\in\mathbb{N}$ tal que $\forall k\ge M \ \ \ \|T(x_k)-y\|<\delta\frac{\epsilon}{2}$. Al elegir $N=M$, existen $n,m\ge N$ tal que $\|x_n-x_m\|>\epsilon$, $\ \|T(x_n)-y\|<\delta\frac{\epsilon}{2}$, y $\|T(x_m)-y\|<\delta\frac{\epsilon}{2}$. Por la Desigualdad Triangular, $\|T(x_n)-T(x_m)\|=\|T(x_n-x_m)\|<\delta \ \epsilon$.
Sea $x=(x_n-x_m) \in X$. Entonces \begin{align*} \frac{\|T(x)\|}{\|x\|} &< \frac{\delta \ \epsilon}{\epsilon} \\ &= \delta. \end{align*}
Teorema 2: Supongamos que $X$ y $Y$ son ambos espacios de Banach, y $T:X\to Y$ es un operador lineal inyectivo acotado. Entonces $\mathrm{ran}(T)$ es cerrado en $Y$ si y solo si $T$ está acotado por debajo.
Prueba: Si $\mathrm{ran}(T)$ es cerrado entonces $T$ es un mapeo biyectivo sobre este subespacio, por el Teorema de la Aplicación Inversa existen $S:\mathrm{ran}(T)\to X$ tal que $ST=\text{Id}_X$, entonces $\|x\|=\|STx\|\le\|S\|\|Tx\|$, por lo tanto $T$ está acotado por debajo.
La otra dirección es simplemente el primer Teorema.
El segundo "Thrm" es claramente falso. Tomemos $T:X\rightarrow X$ definida como $T(x)=0$ donde $X$ es cualquier espacio de Banach. Entonces, el rango de $T$ es $\{0\}$, un conjunto cerrado, sin embargo la imagen del conjunto abierto $X$ es $\{0\}$, un conjunto que no es abierto. Claramente entonces $T$ no puede ser un mapeo abierto.
@user293794 Sí, buen descubrimiento. Es claro a partir de la prueba que estaba pensando en $T:X\to T(X)$, como en la segunda parte de la pregunta. Pero no puedo recordar lo suficiente sobre lo que estaba pensando cuando escribí esto para poder corregir este error.
Tal vez esté pasando por alto algo, pero si un operador lineal acotado $T : X \to Y$ es un mapa abierto, entonces necesariamente es sobreyectivo. Es decir, $X$ es un conjunto abierto por lo que $T(X)$ es un subespacio abierto de $Y$, pero esto implica que $T(X) = Y$. Por lo tanto, el Teorema $1$ es cierto, pero de una manera degenerada.
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Probablemente el criterio más útil es es.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_rango_cerrado pero es posible que eso no sea exactamente lo que estás buscando. También es un buen ejercicio demostrar que un operador cuya imagen tiene codimensión finita tiene rango cerrado (esto es útil en la teoría de Fredholm).