Suma de independiente Geométricas y NegBin variables aleatorias

Question

Deje $Y\sim \operatorname{Geom}(p)$ $X\sim \operatorname{Negbin}(k,p)$ ser independiente. Estoy tratando de encontrar la distribución de $X+Y$. Lo que tengo hasta ahora es: $$P(X+Y=m)=\sum_{i=1}^{m-k} P(X=m-i)\space P(Y=i)$$ $$=\frac{p^{k+1}(1-p)^{m-k}}{1-p} \space \sum_{i=1}^{m-k} \binom{m-i-1}{k-1}$$

A partir de aquí, no estoy seguro de cómo simplificar la suma anterior. Traté de ampliación, y no parece ser complicado, ya que es simplemente la suma de los coeficientes binomiales $\binom{m}{k-1}+\cdots+\binom{k-1}{k-1}$. Algún consejo para simplificar esta suma? Gracias de antemano!

Answer 1

Por Pascal regla: $\binom{n}{k-1}+\binom{n}{k}=\binom{n+1}{k}.$ Así:

$$\sum_{i=1}^{m-k} \binom{m-i-1}{k-1}=\sum_{i=1}^{m-k} \binom{m-i}{k}-\binom{m-i-1}{k}=\binom {m-1}{k}$$

Desde $\binom{n}{k}=0 \ \ \text{if} \ \ k \gt n.$

$$\text{Thus},\ P(X+Y=m)=\frac{p^{k+1}(1-p)^{m-k}}{1-p}\binom {m-1}{k}={p^{k+1}(1-p)^{m-(k+1)}}\binom {m-1}{k}$$ Por lo tanto, $X+Y\sim \operatorname{Negbin}(k+1,p)$, como se proponía en los comentarios.