Posibles Duplicados:
$\sqrt{c+\sqrt{c+\sqrt{c+\cdots}}}$, o el límite de la secuencia de $x_{n+1} = \sqrt{c+x_n}$Hace algún tiempo yo estaba jugando con una calculadora y me encontré con la siguiente relación $$2 = \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \cdots}}}}$$ De hecho, he encontrado más, me encontré con que $$r = \sqrt{r(r - 1) + \sqrt{r(r - 1) + \sqrt{r(r - 1) + \sqrt{r(r - 1) + \cdots}}}}$$ si $r > 1$, pero yo no podía dar una prueba formal y todavía no puedo.
Nota: Si se soluciona $r(r - 1) = 1$ a continuación, usted encontrará una interesante propiedad de que el número de oro.
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Johannes
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Como @Ram comentado, si establece $a_{n+1}= \sqrt{2 + a_n}$, siempre que se muestran a $a_n$ converge por lo que hay un $L$ tal que $a_n\to L$ al$n\to\infty$, por lo que se puede resolver la siguiente ecuación para encontrar $L$: $$L=\sqrt{2+L}$$. The general link is $\sqrt{c+\sqrt{c+\sqrt{c+\cdots}}}$, or the limit of the sequence $x_{n+1} = \sqrt{c+x_n}$
Deje $x_1=\sqrt{r(r-1)}$ $x_{n+1}=\sqrt{r(r-1)+x_n}$ $n \geq 1$
A continuación, puede utilizar $0<x_n<r$ a mostrar que el $x_n$ están delimitadas por encima y aumentando(*), lo que significa que tienden a un límite. Deje que el límite de x, entonces tenemos:$$x=\sqrt{r(r-1)+x}$$ which can be squared to give the solution $x=r$ (and the inadmissible $x=1-r$).
Para (*) tenemos $$x_{n+1}-x_n=\sqrt{r(r-1)+x_n}-x_n$$ and we want to show that this is positive, so we multiply the rhs by the positive number $\sqrt{r(r-1)+x_n}+x_n$ to obtain:$$r(r-1)+x_n-x_n^2=r(r-1)-x_n(x_n-1)$$ y queda por demostrar que esto es positivo para los valores requeridos.
