Disco unitario cerrado homeomorfo a $\mathbb{R}^2$ ?

Question

Ya he demostrado la existencia de un homeomorfismo entre el disco unitario abierto y $\mathbb{R}^2$ y ahora estoy tratando de averiguar si el disco unitario cerrado es homeomorfo a $\mathbb{R}^2$ o no. Evidentemente, la única diferencia real es el hecho de que incluye los puntos que están realmente en el círculo, pero como el mapa continuo, invertible y biyectivo que definí para el disco abierto era $\dfrac{x}{1-|x|}$ esto claramente no está definido para los puntos de la línea.

Intuitivamente estoy pensando que no es posible formar un homeomorfismo con el disco cerrado precisamente por estos puntos del círculo pero no puedo formar un argumento decente. Estaba pensando en mostrar que el subconjunto cerrado no abierto $\bar{D}(0,1) \backslash D(0,1)$ (que no es más que el conjunto de puntos del círculo real, es decir, el límite/frontera del disco cerrado) no puede mapear bijetivamente a un subconjunto cerrado de $\mathbb{R}^2$ - que claramente tendría que ser el caso en un homeomorfismo.

Cualquier consejo será muy apreciado.

Answer 1

Quizás el argumento más inmediato para demostrar que el disco cerrado no es homeomorfo a $\mathbb R^2$ es que el primero es compacto y el segundo no. Este argumento no se ajusta del todo a la intuición que intentabas formalizar. Tu intuición se puede formalizar hasta cierto punto utilizando algunos conceptos de la teoría de la homotopía. El grupo fundamental de $\mathbb R^2$ con un punto eliminado es $\mathbb Z$ mientras que el grupo fundamental del disco cerrado con un punto límite eliminado es trivial. Por lo tanto, los dos espacios no son ni siquiera homotópicos, y mucho menos homeomórficos.

Pensando en términos de caminos (básicamente el argumento anterior pero sin asumir que se conoce el grupo fundamental es), cualquier camino (que es una función continua de $[0,1]$ ) en el disco con un punto límite eliminado puede deformarse continuamente en un punto (basta con contraer la trayectoria al centro del disco). Pero, no todas las trayectorias en el plano con un punto eliminado pueden ser contraídas de esta manera. Si la trayectoria es un círculo alrededor del punto eliminado, entonces no se puede deformar en un punto, el punto eliminado impide hacerlo.

La propiedad de deformabilidad de los caminos es un invariante de los homeomorfismos (y de las equivalencias de homotopía) y, por tanto, los dos espacios no son homeomorfos.

Answer 2

No; el disco unitario cerrado es cerrado y acotado en $\mathbb R^2$ lo que significa que es compacto, y $\mathbb R^2$ no es compacto.

Answer 3

No. $\Bbb R^2$ no es compacto mientras que el disco es de Heine Borel