Dominio simplemente conectado y función armónica

Question

Dejemos que $\Omega$ sea un dominio simplemente conectado que esté correctamente contenido en $\mathbb C$ y $u(x,y)$ es armónico en el disco unitario $\mathbb D $ entonces hay una función $f(z)$ que es uno-uno y analítico en $\Omega $ para que $u$ o $f$ es armónico en $\Omega$ .

Todo lo que puedo pensar es que existe un conjugado armónico $v$ en un dominio simplemente conectado $\Omega$ tal que $f=u+iv$ es analítico allí. No veo cómo esa misma función será inyectiva y la composición será armónica. O la función $f$ en la pregunta no es realmente la que mencioné anteriormente? Ayuda

Answer 1

Desde $\Omega$ está simplemente conectado, abierto, y no el conjunto de $\mathbb{C}$ podemos utilizar el Teorema del mapa de Riemann que garantiza que existe un mapa biholomorfo $f:\Omega \to \mathbb{D}$ . Entonces puedes utilizar el hecho de que una composición de una función analítica y una función armónica es armónica, como se indica en el comentario de Pavel, y concluir que $u \circ f$ es efectivamente una función armónica.