Los puntos cerrados en el espacio proyectivo corresponden a qué ideales primos homogéneos en $k[x_0,...,x_n]$

Question

Estoy tratando de pensar en el ejercicio 4.5.O de los apuntes de Vakil sobre Geometría Algebraica.

Antes de definir el esquema $\mathbb{P}^n_k := \operatorname{Proj}(k[x_0,...,x_n])$ y demostró que para $k$ algebraicamente cerrados los puntos cerrados de $\mathbb{P}^n_k$ corresponden a los puntos del espacio proyectivo "clásico".

Ahora la pregunta es: ¿A qué ideal primo homogéneo en $k[x_0,...,x_n]$ hace el punto $[a_0:...a_n]$ ¿corresponden?

Lo que pienso hasta ahora: Dado que hay un $a_i \ne 0$ podemos elegir al representante con $a_i = 1$ . Entonces obtenemos el ideal homogéneo \begin{equation} I = (\sum_{j \ne i} a_j x_j + x_i) \end{equation}

¿Es éste el que buscamos? Si es así, ¿cómo se prueban todos los detalles, por ejemplo, por qué es $I$ primo, no contiene el ideal inesencial y corresponde realmente a este punto?

Answer 1

El punto clásico $[a_0:a_1:\dots:a_n]$ corresponde al ideal homogéneo $$\langle a_ix_j-a_jx_i\vert i,j=0\dots n\rangle\subset k[x_0,\dots,x_n]$$ 1) No rompa la hermosa simetría de este ideal con decisiones feas (como $a_i=1$ ) para las coordenadas homogéneas de su punto.

2) La fórmula sigue siendo válida para un campo arbitrario $k$ .
Sin embargo, si $k$ no es algebraicamente cerrado $\mathbb P^n_k$ contendrá puntos cerrados que no sean de la forma anterior.
Por ejemplo, el ideal $\langle x_0^2+x_1^2\rangle\subset \mathbb R[x_0,x_1]$ también corresponde a un punto cerrado de $\mathbb P^1_\mathbb R$ .