Sólo para presentar un enfoque vectorial del problema
Consideremos la ecuación del plano escrita como $$ \frac{{a\,x + b\,y + c\,z}}{{\sqrt {a^{\,2} + b^{\,2} + c^{\,2} } }} = \frac{d}{{\sqrt {a^{\,2} + b^{\,2} + c^{\,2} } }} $$ Esto significa que los puntos ${\bf p} = \left( {x,y,z} \right)$ en el plano se proyectará sobre el vector unitario ${\bf n} = \left( {a,b,c} \right)/\sqrt {a^{\,2} + b^{\,2} + c^{\,2} } $ a una distancia constante $\delta = d/\sqrt {a^{\,2} + b^{\,2} + c^{\,2} } $ es decir $$ {\bf p} \cdot {\bf n} = \delta $$ para que el plano esté distante $\delta$ desde el origen. Al mismo tiempo tendremos $$ \left| {\,{\bf p}\,} \right| = r $$ Así que con referencia al boceto, podemos poner $$ {\bf p} = \delta \,{\bf n} + \sqrt {r^{\,2} - \delta ^{\,2} } \,{\bf t} = \delta \,{\bf n} + \rho \,{\bf t} $$ donde ${\bf t}$ es un genérico vector unitario paralelo al plano, que es normal a ${\bf n}$ . Podemos expresar ${\bf t}$ tomando dos vectores unitarios ${\bf u}$ y ${\bf v}$ , normal a ${\bf n}$ y entre sí, y luego poner $$ {\bf t} = \cos \theta \,{\bf u} + \sin \theta \,{\bf v} $$ Para determinar ${\bf u}$ y ${\bf v}$ podemos tomar (si, por ejemplo $c \ne 0$ ) $$ {\bf u} = \left( {0, - c,b} \right)/\sqrt {b^{\,2} + c^{\,2} } \quad \quad {\bf v} = {\bf n} \times {\bf u} $$ ejemplo
con $r=4 \; a=1 \; b=2 \; c=3 \; d=7$ obtenemos
$$ {\bf n} = \,\sqrt {14} /14\,\left( {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ 2 \\ 3 \\ \end{array}} \right)\;\quad \delta = \sqrt {14} /2\quad \rho = 5\sqrt 2 /2 $$ $$ {\bf u} = \sqrt {13} /13\;\left( {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ 2 \\ 3 \\ \end{array}} \right)\quad {\bf v} = \sqrt {182} /182\;\left( {\begin{array}{*{20}c} {13} \\ { - 2} \\ { - 3} \\ \end{array}} \right) $$
y por lo tanto $$ \begin{array}{l} {\bf p} = \delta \,{\bf n} + \rho \,\left( {\cos \theta \,{\bf u} + \sin \theta \,{\bf v}} \right)\quad \Rightarrow \\ \Rightarrow \quad \left( {\begin{array}{*{20}c} x \\ y \\ z \\ \end{array}} \right) = \frac{1}{2}\,\left( {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ 2 \\ 3 \\ \end{array}} \right) + \frac{{5\sqrt {364} }}{{364}}\,\left( {\sqrt {14} \cos \theta \;\left( {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ 2 \\ 3 \\ \end{array}} \right) + \sin \theta \,\;\left( {\begin{array}{*{20}c} {13} \\ { - 2} \\ { - 3} \\ \end{array}} \right)} \right) \\ \end{array} $$ y puedes comprobarlo: $$ {\bf p} \cdot {\bf n} = \delta \,\quad {\bf p} \cdot {\bf p} = r^{\,2} $$