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Parametrización de la intersección entre una esfera y un plano

No puedo encontrar una manera de obtener la ecuación paramétrica $ \gamma (t)=(x(t),y(t),z(t))$ de una curva que es la intersección de una esfera y un plano (no paralela a ningún plano coordinado). Esto es

$$ \begin {cases} x^2+y^2+z^2=r^2 \\ ax+by+cz=d \end {cases}$$

No sé cómo mover las variables para conseguir algo fácilmente parametrizable.

¿Alguien puede decirme los pasos principales para conseguir la parametrización de este tipo de curva?


Ejemplo

$$ \begin {cases} x^2+y^2+z^2=1 \\ x+y+z=0 \end {cases}$$

Responde: $ \gamma (t)=( \frac { \sqrt {2}}{2}cost + \frac { \sqrt {6}}{6}sint,- \frac { \sqrt {2}}{2}cost + \frac { \sqrt {6}}{6}sint, \frac { \sqrt {6}}{3}sint) , \,\,\,\, t \in [0,2 \pi ]$

3voto

G Cab Puntos 51

Sólo para presentar un enfoque vectorial del problema

Piano_Sfera2

Consideremos la ecuación del plano escrita como $$ \frac{{a\,x + b\,y + c\,z}}{{\sqrt {a^{\,2} + b^{\,2} + c^{\,2} } }} = \frac{d}{{\sqrt {a^{\,2} + b^{\,2} + c^{\,2} } }} $$ Esto significa que los puntos ${\bf p} = \left( {x,y,z} \right)$ en el plano se proyectará sobre el vector unitario ${\bf n} = \left( {a,b,c} \right)/\sqrt {a^{\,2} + b^{\,2} + c^{\,2} } $ a una distancia constante $\delta = d/\sqrt {a^{\,2} + b^{\,2} + c^{\,2} } $ es decir $$ {\bf p} \cdot {\bf n} = \delta $$ para que el plano esté distante $\delta$ desde el origen. Al mismo tiempo tendremos $$ \left| {\,{\bf p}\,} \right| = r $$ Así que con referencia al boceto, podemos poner $$ {\bf p} = \delta \,{\bf n} + \sqrt {r^{\,2} - \delta ^{\,2} } \,{\bf t} = \delta \,{\bf n} + \rho \,{\bf t} $$ donde ${\bf t}$ es un genérico vector unitario paralelo al plano, que es normal a ${\bf n}$ . Podemos expresar ${\bf t}$ tomando dos vectores unitarios ${\bf u}$ y ${\bf v}$ , normal a ${\bf n}$ y entre sí, y luego poner $$ {\bf t} = \cos \theta \,{\bf u} + \sin \theta \,{\bf v} $$ Para determinar ${\bf u}$ y ${\bf v}$ podemos tomar (si, por ejemplo $c \ne 0$ ) $$ {\bf u} = \left( {0, - c,b} \right)/\sqrt {b^{\,2} + c^{\,2} } \quad \quad {\bf v} = {\bf n} \times {\bf u} $$ ejemplo

con $r=4 \; a=1 \; b=2 \; c=3 \; d=7$ obtenemos

$$ {\bf n} = \,\sqrt {14} /14\,\left( {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ 2 \\ 3 \\ \end{array}} \right)\;\quad \delta = \sqrt {14} /2\quad \rho = 5\sqrt 2 /2 $$ $$ {\bf u} = \sqrt {13} /13\;\left( {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ 2 \\ 3 \\ \end{array}} \right)\quad {\bf v} = \sqrt {182} /182\;\left( {\begin{array}{*{20}c} {13} \\ { - 2} \\ { - 3} \\ \end{array}} \right) $$

y por lo tanto $$ \begin{array}{l} {\bf p} = \delta \,{\bf n} + \rho \,\left( {\cos \theta \,{\bf u} + \sin \theta \,{\bf v}} \right)\quad \Rightarrow \\ \Rightarrow \quad \left( {\begin{array}{*{20}c} x \\ y \\ z \\ \end{array}} \right) = \frac{1}{2}\,\left( {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ 2 \\ 3 \\ \end{array}} \right) + \frac{{5\sqrt {364} }}{{364}}\,\left( {\sqrt {14} \cos \theta \;\left( {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ 2 \\ 3 \\ \end{array}} \right) + \sin \theta \,\;\left( {\begin{array}{*{20}c} {13} \\ { - 2} \\ { - 3} \\ \end{array}} \right)} \right) \\ \end{array} $$ y puedes comprobarlo: $$ {\bf p} \cdot {\bf n} = \delta \,\quad {\bf p} \cdot {\bf p} = r^{\,2} $$

2voto

user32262 Puntos 2147

Si el plano pasa por el origen (entonces $d = 0)$ la intersección será un círculo de radio $1$ que se encuentra en el plano. Así, se puede elegir un par $(e_1,e_2)$ de vectores ortogonales de longitud unitaria que se encuentran en su plano y entonces la intersección se parametrizará como

$$ \gamma(t) = \cos(t) e_1 + \sin(t) e_2. $$

Para calcularlo explícitamente, puede elegir $e_1$ para ser cualquier vector de longitud unitaria que se encuentra en el plano y establecer $e_2 = e_1 \times \frac{(a,b,c)}{\|(a,b,c)\|}$ (como $(a,b,c)$ es el vector normal al plano). Por ejemplo, para $x + y + z = 0$ podemos tomar

$$ e_1 = \frac{(1,-1,0)}{\|(1,-1,0)\|} = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1,0), \\ e_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} (1,-1,0) \times \frac{1}{\sqrt{3}} (1,1,1) = \frac{1}{\sqrt{6}} (-1,-1,2) $$

y así

$$ \gamma(t) = \cos(t) \frac{1}{\sqrt{2}} (1,-1,0) + \sin(t) \frac{1}{\sqrt{6}} (-1,-1,2) = \left( \frac{\cos t}{\sqrt{2}} - \frac{\sin t}{\sqrt{6}}, -\frac{\cos t}{\sqrt{2}} - \frac{\sin t}{\sqrt{6}}, \frac{2}{\sqrt{6}} \sin t\right) $$

que es casi la parametrización que escribiste pero nota que tienes un error de signo en tu parametrización.

1voto

Abdallah Hammam Puntos 358

Sugerencia

Dejemos que $D=\frac{|d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ sea la distancia entre el plano y el centro de la esfera.

Hay tres casos

$D>a \implies $ sin interés

$D=a \implies $ el plano es tangente.

$D<a \implies $ la interesección es un círculo de radio $=\sqrt{a^2-D^2}$ .

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