Suma de sinusoides con la misma frecuencia = sinusoide (prueba)

Question

Estoy estudiando el análisis de Fourier por mi cuenta, me he dado cuenta de que probablemente lo primero que quieres probar en la transformada de Fourier es que la suma de 2 sinuoides (concretamente un seno y un coseno) con la misma frecuencia da otra sinusoide. Así que estoy tratando de encontrar una prueba de esto. En este documento encontré esta identidad:

$$ A\cos(\omega t + \alpha) + B\sin(\omega t + \beta) = \color{red}{\sqrt{(A\cos\alpha + \beta\sin\beta)^2 + (A \sin\alpha - B\cos\beta)^2}} \cdot \cos\left(\omega t + \color{green}{\arctan \frac{A\sin\alpha - B\cos\beta}{A\cos\alpha+B\sin\beta}}\right) $$

EDIT: perdón, me he equivocado en la ecuación.

Suponiendo que sé pasar de la ecuación de la izquierda a la ecuación de la derecha, ¿sería suficiente como prueba ya que puedo decir que los términos que he resaltado con color son constantes por lo que la suma del coseno y el seno es igual a una constante multiplicada por un coseno de la misma frecuencia con algún desplazamiento de fase constante.

Sería genial tener la confirmación de un experto.

Gracias.

Answer 1

Para evitar cualquier confusión, digamos que

• un seno (puro) tiene la forma $A\sin(\omega t)$ ,
• un coseno (puro) tiene la forma $A\cos(\omega t)$ ,
• una sinusoide tiene una fase arbitraria y una de las formas equivalentes $A\sin(\omega t+\phi)$ o $A\cos(\omega t+\psi)$ - donde $\phi$ y $\psi$ difieren en un cuarto de vuelta.

Así que el seno y el coseno son casos especiales de la sinusoide.

Por la conocida fórmula de la adición, $$A\sin(\omega t+\phi)=A\sin(\omega t)\cos(\phi)+A\cos(\omega t)\sin(\phi)=A'\sin(\omega t)+A''\cos(\omega t).$$

Esto significa que

1. una sinusoide puede expresarse como una combinación lineal de un seno y un coseno,
2. a la inversa, una combinación lineal de seno y coseno puede representarse como una sola sinusoide $^*$ ,
3. una combinación lineal de dos o más sinusoides puede expresarse como una combinación lineal de un seno y un coseno, por lo que puede expresarse como una única sinusoide.

Estas propiedades no se mantienen si se mezclan sinusoides de diferentes períodos.

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$^*$ Esto se hace resolviendo el sistema $$A\cos(\phi)=A'\\A\sin(\phi)=A'',$$ es decir $$A=\sqrt{A'^2+A''^2}\\\tan(\phi)=\frac{A''}{A'}.$$

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Pronto descubrirá que los números complejos se utilizan intensamente en el análisis armónico, basándose en la fórmula de Euler $e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$ .

Los sinusoides pueden representarse como la parte imaginaria de $Ae^{i(\omega t+\phi)}=Ae^{i\phi}e^{i\omega t}=Ze^{i\omega t}$ , donde $Z$ es un número complejo, que lleva tanto la amplitud como la fase ( $Z=A$ es real para un seno, $Z=iA$ es imaginario para un coseno).

Utilizando esta notación, añadir sinusoides se convierte en algo trivial:

$$Z_0e^{i\omega t}+Z_1e^{i\omega t}+Z_2e^{i\omega t}=(Z_0+Z_1+Z_2)e^{i\omega t}.$$

Answer 2

(Utilizaré la notación $\DeclareMathOperator{polar}{~\angle~}M \polar \theta$ para representar un vector en forma polar, con $M$ la magnitud y $\theta$ el ángulo)

El resultado general (que creo que es muy útil) es:

Si $$f(x) = A_1~\cos(\omega~x + \phi_1) + A_2~\cos(\omega~x + \phi_2)$$ entonces $$f(x) = A_3~\cos(\omega~x + \phi_3)$$ y $$A_3\polar \phi_3 = A_2\polar \phi_2 + A_1\polar \phi_1$$

Esto también es válido si $\cos$ se sustituye por $\sin$ .

Una prueba de esto se puede hacer utilizando la representación de Euler de las sinusoides. Dada:

$$A_3 \cos(\phi_3) = A_2 \cos(\phi_2) + A_1\cos(\phi_1)$$

$$f(x) = A_1\frac {1}2 \left(e^{i(\omega x + \phi_1)} + e^{-i(\omega x + \phi_1)}\right) + A_2\frac {1}2 \left(e^{i(\omega x + \phi_2)} + e^{-i(\omega x + \phi_2)}\right) $$

Reorganización de términos:

$$f(x) = \frac {1}2\left(A_1e^{ i\phi_1} + A_2e^{ i\phi_2}\right) e^{ i\omega x} + \frac {1}2\left(A_1e^{-i\phi_1} + A_2e^{-i\phi_2}\right) e^{-i\omega x} $$

Aquí utilizamos el hecho de que desde $A_3\polar \phi_3 = A_2\polar \phi_2 + A_1\polar \phi_1$ entonces $A_3e^{i\phi_3} = A_2e^{i\phi_2} + A_1e^{i\phi_1}$ y $A_3e^{-i\phi_3} = A_2e^{-i\phi_2} + A_1e^{-i\phi_1}$ :

$$f(x) = \frac {1}2\left(A_3e^{i\phi_3}\right) e^{i\omega x} + \frac {1}2\left(A_3e^{-i\phi_3}\right)e^{-i\omega x } $$

$$f(x) = A_3\frac {1}2 \left(e^{i(\omega x + \phi_3)} + e^{-i(\omega x + \phi_3)}\right) $$

y de vuelta de la representación de Euler:

$$f(x) = A_3~\cos(\omega~x + \phi_3)$$

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He aquí una prueba menos rigurosa pero (considero) más intuitiva:

Considere

• Punto $Y$ está girando alrededor del punto $X$ con una frecuencia de $\frac {\omega}{2\pi}$
• Punto $Z$ está girando alrededor del punto $Y$ con una frecuencia de $\frac {\omega}{2\pi}$
• El ángulo inicial y la magnitud de $Y$ en relación con $X$ es $\varphi_1$ y $A_1$
• El ángulo inicial y la magnitud de $Z$ en relación con $Y$ es $\varphi_2$ y $A_2$

Como puede ver, el vector inicial $Z$ respecto al origen es $A_1 \polar \varphi_1 + A_2 \polar \varphi_2$ . Así que si puedes visualizar intuitivamente que el movimiento $Z$ hace es un círculo alrededor de $X$ Entonces puedes ver que la suma de las sinusoides (ya sea el valor horizontal o el vertical) es en sí misma una sinusoide.

Answer 3

Esta es una pequeña adición a la Respuesta 1.

La pregunta original es sobre el cálculo de A3 y ϕ3.

Esto se puede hacer fácilmente a partir del dibujo de la respuesta 1. Si Zx, Zy, Yx e Yy son coordenadas de los puntos Z e Y, entonces A3 y tan(ϕ3) pueden expresarse fácilmente como funciones de Zx, Zy, Yx e Yy. Entonces Zx, Zy, Yx e Yy pueden expresarse como funciones de A1, ϕ1, A2 y ϕ2.

Otra aproximación: Para hallar A3 se parte de multiplicar las fórmulas de A3eiϕ3 y A3e-iϕ3 (ver la Respuesta 1). (La representación de Euler de la expresión [cos(ϕ1)cos(ϕ2)+sin(ϕ1)sin(ϕ2)] es necesaria para las conversiones). Para hallar tan(ϕ3) se parte de dividir las mismas fórmulas.