$(\lambda-a)^{-1}$ como límites de 'polinomios'

Question

Para un unital $C^*$-álgebra $\mathcal{A}$ el espectral de permanencia de los da \begin{equation} \sigma_{\mathcal{B}}(a)=\sigma_{\mathcal{A}}(a) \end{equation} para cualquier unital $C^*$-subalgebra $\mathcal{B}$.

Es natural mirar a los más pequeños, tales subalgebras, es decir, el $C^*$-subalgebra generado por $1,a$$a^*$. A continuación, la permanencia dice que si $\lambda-a$ es invertible, entonces a $\lambda-a$ es en el cerrado lineal útil de los productos de $1,a$ $a^*$ (aunque el orden de las multiplicaciones de los asuntos de aquí y de hecho no es un polinomio).

Me pregunto si hay alguna canónica de la forma de construcción de estos 'polinomios'. Es decir, dada $a\in\mathcal{A}$ invertible, ¿cómo se puede encontrar de forma explícita el lineal útil de los productos de $1,a$ $a^*$ que converge a $a^{-1}$?

Gracias!

Answer 1

Mi sensación (no formalmente justificados) es que no hay elección canónica. Echa un vistazo a el ejemplo más sencillo: vamos a $$ a=\begin{bmatrix}2&0\\0&3\end{bmatrix}, $$ $\lambda=1$. Por lo $a$ es selfadjoint, y por supuesto $$ (a-\lambda)^{-1}=\begin{bmatrix}1&0\\0&1/2\end{bmatrix}=p(a-\lambda) $$ para una adecuada polinomio. Ahora, ¿cuál es la canónica polinomio que se lleva a $1,2$$1,1/2$? Supongamos que queremos que el mínimo grado posible (es decir,$2$); esto ya es arbitraria. Usted podría pedir que el polinomio ser monic, y en este caso $$ p(t)=t^2-\frac72\,t+\frac72; $$ o usted podría desear $p(0)=0$, en cuyo caso $$ p(t)=-\frac34\,t^2+\frac74\,t. $$ Yo no veo una razón por la que hace a uno más canónica de la otra.

Answer 2

Para responder a la pregunta del título:

Si $\lambda -a$ es invertible, usted puede escribir su inversa como una potencia de la serie en $a$:

$$\frac{1}{\lambda - a} = \frac{1}{\lambda(1 - \frac{a}{\lambda})} = \sum_{n = 0}^\infty \frac{a^n}{\lambda^{n+1}}.$$