Función característica de producto de variables aleatorias normales

Question

Me gustaría encontrar la función característica del producto de dos independientes browniano movimientos. Esto se reduce a la función característica del producto de dos normales de variables aleatorias. Esto se conoce del producto-distribución normal:

http://mathworld.wolfram.com/NormalProductDistribution.html

pero no he encontrado una fácil prueba de este hecho. Prueba de ello es haciendo uso de la Mellin transformar, pero esta pregunta fue en una asignación de un valor considerablemente más bajo nivel y no se hace mención de la Mellin de transformación en las conferencias. Yo sería muy feliz si alguien me puede ayudar.

Answer 1

Suponga que $X$ $Y$ son dos independientes aleatoria normal estándar de las variables y nos vamos a calcular la función característica de a $XY$. Uno sabe que $\mathrm E(\exp(\mathrm itX))=\exp(-\frac12t^2)$ por lo tanto $\mathrm E(\exp(\mathrm itXY)\mid Y)=\exp(-\frac12t^2Y^2)$$\mathrm E(\exp(\mathrm itXY))=\mathrm E(\exp(-\frac12t^2Y^2))$. Ahora, $$\mathrm E(\exp(-{\estilo de texto\frac12}t^2Y^2))=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{\mathbb R}\mathrm e^{-\frac12t^2y^2}\mathrm e^{-\frac12y^2}\mathrm dy=\sqrt{\sigma^2},$$ donde $t^2+1=1/\sigma^2$. Esto demuestra $$\mathrm E(\exp(\mathrm itXY))=\frac1{\sqrt{1+t^2}}.$$ Editar El OP menciona la función característica del producto de dos independientes browniano movimientos, dicen los procesos de $(X_t)_t$$(Y_t)_t$. El por encima de los rendimientos de la distribución de $Z_1=X_1Y_1$ y, por la homogeneidad, de $Z_t=X_tY_t$ que se distribuye como $tZ_1$ por cada $t\geqslant0$. Sin embargo, esto no determina la distribución del proceso $(Z_t)_t$. Por ejemplo, para calcular la distribución de $(Z_t,Z_s)$$0\leqslant t\leqslant s$, uno podría escribir el incremento en el $Z_s-Z_t$$Z_s-Z_t=X_t(Y_s-Y_t)+Y_t(X_s-X_t)+(X_s-X_t)(Y_s-Y_t)$, pero los términos de $X_t(Y_s-Y_t)$ $Y_t(X_s-X_t)$ muestran que $Z_s-Z_t$ no es independiente en $Z_t$ y $(Z_t)_t$ probablemente no Markov.