Deje $X=\{1,2,3,\ldots,10\}$ Encontrar el número de pares de $\{A,B\}$

Question

Deje $X=\{1,2,3,\ldots,10\}$. Encontrar el número de pares de $\{A,B\}$ Tal que $A,B\subseteq X$, $A\neq B$ y $A \cap B=\{5,7,8\}$.

No es una tarea cuestión. Se trata de una olimpiada de Matemáticas.

Answer 1

El problema es equivalente a la elección de dos no de intersección de los subconjuntos de a $\{1,2,3,4,6,9,10\}$ tal que al menos uno de ellos no está vacía, y la adición de $\{5,7,8\}$ a cada uno. Que, a su vez, es equivalente a dividir los elementos de $\{1,2,3,4,6,9,10\}$ en tres sets ("dar" a cada número un signo - si va a la a$A$, $B$ o de la nada) tal que al menos uno de los dos primeros, es no vacío.
Hay $3^7$ opciones para dividir los elementos en tres sets ($3$ opciones para todos los elememt ir a). En una de esas opciones, la primera de dos estará vacía.
Por lo tanto, usted tiene $3^7-1=2186$ opciones para elegir $(A,B)$.
Si usted quiere encontrar el número de opciones para $\{A,B\}$ - se divide por $2$, es decir, $\frac12\left(3^7-1\right)=1093$

Answer 2

Básicamente, usted está buscando para $A',B'\subseteq X':=\{1,2,3,4,6,9,10\}$.

Deje $A'$ ha $k$ elementos. Hay ${7\choose k}$ tales conjuntos de $A'$. El número de conjuntos correspondientes a $B'$ es igual a $2^{7-k}$ (debido a $B'$ es cualquier subconjunto de a $X'\setminus A'$.

Ahora tenemos que sumar sobre todos los $k$, $0\leq k\leq7$, y quitar el caso de $A'=B'=\emptyset$:

$$-1+\sum_{k=0}^7 {7\choose k} 2^{7-k}=2186.$$

Y como Dennis Gulko señala en su respuesta, usted desea conseguir solo la mitad de este número, es decir,$1093$.

Answer 3

Sólo hay 7 más de los elementos a colocar en $A$ o $B$. Para encontrar la intersección de criterios, cada elemento adicional sólo puede: ir a $A$, o ir a la $B$, o ir a ninguno. Le llaman "ni" el tercer set. Así que tienes $3$ opciones para cada uno de los elementos extra, que es $3^7$. Sin embargo, hemos contado $A=B=\{5,7,8\}$, por lo que la respuesta correcta es $3^7-1$.