Una prueba trigonométrica de una desigualdad

Question

Tenemos $f(x) = \sin(\cos(\sin(\cos(...\cos x)...))))$ , donde $5$ $\sin$ y $5$ $\cos$ están uno al lado del otro.

Demuestra que $|f(\frac15) - f(\frac{1}{10})| \le \frac{1}{10}$

Simplemente no tengo ni idea de cómo usar algo para probar la declaración, ¿está conectado a impar o incluso funciones, o algunos famosos $\sin - \cos$ ¿Conexiones?

La pregunta es quizás un duplicado, si es así lo siento, ¡gracias de antemano por la ayuda!

Answer 1

Observe que $$ \left|f\left(\tfrac{1}{5}\right)-f\left(\tfrac{1}{10}\right)\right|\leqslant \frac{|f'(\xi)|}{10} $$ para algunos $\xi\in[\tfrac{1}{10},\tfrac{1}{5}]$ por el teorema del valor medio. Y es sencillo comprobar que $|f'(\xi)|\leqslant 1$ .

Answer 2

Ambos $\cos$ y $\sin$ tienen una derivada limitada por $1$ en valor absoluto; por tanto, ambas satisfacen una condición de Lipschitz con constante $1$ y lo mismo ocurre con cualquier $\circ$ -composición de estas funciones.

Answer 3

El mapa: $$ \varphi: x \to \sin(\cos x) $$ es un contracción del intervalo $[0,1]$ . Desde: $$ \sup_{x\in[0,1]} \left|\varphi'(x)\right| = -\varphi(1) = \cos(1)\sin(\sin 1)=0.7216\ldots<\frac{3}{4}\tag{1}$$ se deduce que: $$ \left|\left.\varphi^{(5)}(x)\right|_{\frac{1}{10}}^{\frac{1}{5}}\right|\leq\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{10}\right)\cdot\left(\frac{3}{4}\right)^5<\frac{1}{42}.\tag{2}$$