Os dejo el criterio de unicidad para el lector.
Vamos a considerar el uso de la $r+1$el plazo de la $$(2x^a-x^b)^{m-r}$$, que será
$$\binom{m-r}r2^{m-2r}(-1)^rx^{am+r(b-2a)}$$
WLOG elija $b=2,a=1$
Por eso, $\displaystyle\binom{m-r}r2^{m-2r}(-1)^r$ será el coeficiente de $x^m$ $\displaystyle(2x-x^2)^{m-r}$
$$\implies\sum_{r=0}^{2r\le m}\binom{m-r}r2^{m-2r}(-1)^r$$ will be the coefficient of $x^m$ in the expansion of $$\sum_{r=0}^{2r\le m}(2x-x^2)^{m-r}$$
es decir, en la expansión de $$\sum_{r=0}^m(2x-x^2)^{m-r}=\sum_{u=0}^m(2x-x^2)^u=\dfrac{1-(2x-x^2)^{m+1}}{1-(2x-x^2)}=\{1-(2x-x^2)^{m+1}\}(1-x)^{-2}$$
es decir, en la expansión de $\displaystyle(1-x)^{-2}$
Ahora el coeficiente de en $x^n(n\ge0)$ $\displaystyle(1-x)^{-2}$ (suponiendo que la convergencia) es
$$\dfrac{(-1)^n(-2)(-3)\cdots(-n)(-n-1)}{n!}=n+1$$