Automorphism de una superficie de Riemann compacta con un número finito de puntos retirados mapas perforado de disco a disco perforado

Question

Me pregunto si se cumple lo siguiente: Si tenemos una superficie de Riemann compacta $X$ donde un número finito de puntos se retiran, $X'=X - \{x_1,...x_k\}$ y un automorphism $f$$X'$, es cierto que $f$ mapas de un pinchazo en un disco alrededor de un punto de $p\in \{x_1,...,x_k\}$ a un pinchazo en un disco alrededor de algún punto de $q\in \{x_1,...,x_k\}$? Por un pinchazo en un disco alrededor de $p$ me refiero a un conjunto abierto $U\subset X'$ tal que $U\cup \{p\}$ es biholomorphic a un disco en $\mathbb{C}$ a través de un gráfico de $(U\cup \{p\}, \phi)$$X$.

Sé que este no es el caso si $X$ no es una superficie de Riemann compacta. Por ejemplo, considere el$X=\mathbb{C}$$X'=\mathbb{C}-\{0\}$. A continuación, el automorphism $f(z)=\frac{1}{z}$ mapas del disco perforado $B_1(0)-\{0\}$ $\mathbb{C}-\overline{B_1(0)}$que no es un pinchazo en un disco.

Answer 1

Sí, cada automorphism de $X'$ es la restricción de una automorphism de $X$ en esta situación.

Considere la posibilidad de $p \in X\setminus X'$, y una secuencia $(z_n)$ $X'$ convergentes a $p$. Por compacidad, la secuencia de $w_n = f(z_n)$ tiene un punto límite $w\in X$. No podemos tener a $w \in X'$, de lo contrario, no sería un barrio de $U$ $f^{-1}(w)$ $\{n : z_n\in U\}$ finito, pero, a continuación, $w_n \in f(U)$ para todos lo suficientemente grande como $n$ estaría en contradicción con la inyectividad de $f$.

Lo siguiente que tenemos que ver que la secuencia de $(w_n)$ no puede tener más de un punto límite. Deje $V$ un pequeño disco alrededor de $w$ (tan pequeña que $\overline{V} \cap (X\setminus X') = \{w\}$). A continuación, $S = f^{-1}(\partial V)$ es un buen Jordania curva dividiendo $X'\setminus S$ en dos componentes conectados, y $S$ es el límite de cada uno de estos componentes. Deje $C$ ser el componente que contenga $p$. Desde $f(C)$ está conectado a un componente de $X'\setminus \partial V$, e $w$ es un punto límite de $f(C)$, se deduce que el $f(C) = V\setminus \{w\}$. Por lo tanto $w = \lim\limits_{n\to\infty} f(z_n)$ de todas las secuencias $z_n \to p$, y, por tanto, $p$ es una singularidad removible de $f$.

Deje $F\colon X \to X$ el holomorphic mapa obtenido a partir de la eliminación de los extraíbles de las singularidades de $f$. A continuación, $F$ también es inyectiva. Para $F$ no es constante, por tanto, una asignación abierta, y $F(x_i) = F(x_j)$ $i\neq j$ (o $F(x_i) = F(z)$$z\in X'$) estaría en contradicción con la inyectividad de $f$.

Pero desde $X$ es compacto, $F(X)$ también está cerrado en $X$, y dado que es denso, se deduce que el $F$ es un automorphism de $X$.